R0032-16662 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0087
正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":25}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。
G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":25}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
totient multiplicativity coprimality premise:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 25, 0, 2], [25, 2, 12, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001
操作前
totient multiplicativity original modulus product := mul(2, 25)
操作後
totient multiplicativity original modulus product = 50
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
left modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 2]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 2, 0, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002
操作前
left modulus:original representative k=1 in1..2;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003
操作前
left modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 2]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 2, 1, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004
操作前
left modulus:original representative k=2 in1..2;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005
操作前
left modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0)
操作後
left modulus exact coprime indicator count = 1
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
left modulus:complete representative range1..2;all selected coprime representatives=[1]
操作後
phi(2)=1;representatives_1_through_n
條件：無
全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。
規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S007
操作前
right modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 25, 0, 1], [25, 1, 25, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008
操作前
right modulus:original representative k=1 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009
操作前
right modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 25, 0, 2], [25, 2, 12, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010
操作前
right modulus:original representative k=2 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011
操作前
right modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 25, 0, 3], [25, 3, 8, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012
操作前
right modulus:original representative k=3 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013
操作前
right modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 25, 0, 4], [25, 4, 6, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014
操作前
right modulus:original representative k=4 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015
操作前
right modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 25, 0, 5], [25, 5, 5, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016
操作前
right modulus:original representative k=5 in1..25;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017
操作前
right modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 25, 0, 6], [25, 6, 4, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018
操作前
right modulus:original representative k=6 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019
操作前
right modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 25, 0, 7], [25, 7, 3, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020
操作前
right modulus:original representative k=7 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021
操作前
right modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 25, 0, 8], [25, 8, 3, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022
操作前
right modulus:original representative k=8 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023
操作前
right modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 25, 0, 9], [25, 9, 2, 7], [9, 7, 1, 2], [7, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024
操作前
right modulus:original representative k=9 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025
操作前
right modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 25, 0, 10], [25, 10, 2, 5], [10, 5, 2, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026
操作前
right modulus:original representative k=10 in1..25;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027
操作前
right modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 25, 0, 11], [25, 11, 2, 3], [11, 3, 3, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028
操作前
right modulus:original representative k=11 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029
操作前
right modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 25, 0, 12], [25, 12, 2, 1], [12, 1, 12, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S030
操作前
right modulus:original representative k=12 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S031
操作前
right modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 25, 0, 13], [25, 13, 1, 12], [13, 12, 1, 1], [12, 1, 12, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S032
操作前
right modulus:original representative k=13 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S033
操作前
right modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 25, 0, 14], [25, 14, 1, 11], [14, 11, 1, 3], [11, 3, 3, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S034
操作前
right modulus:original representative k=14 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S035
操作前
right modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 25, 0, 15], [25, 15, 1, 10], [15, 10, 1, 5], [10, 5, 2, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S036
操作前
right modulus:original representative k=15 in1..25;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S037
操作前
right modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 25, 0, 16], [25, 16, 1, 9], [16, 9, 1, 7], [9, 7, 1, 2], [7, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S038
操作前
right modulus:original representative k=16 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S039
操作前
right modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 25, 0, 17], [25, 17, 1, 8], [17, 8, 2, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S040
操作前
right modulus:original representative k=17 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S041
操作前
right modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 25, 0, 18], [25, 18, 1, 7], [18, 7, 2, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S042
操作前
right modulus:original representative k=18 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S043
操作前
right modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 25, 0, 19], [25, 19, 1, 6], [19, 6, 3, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S044
操作前
right modulus:original representative k=19 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S045
操作前
right modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 25, 0, 20], [25, 20, 1, 5], [20, 5, 4, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S046
操作前
right modulus:original representative k=20 in1..25;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S047
操作前
right modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 25, 0, 21], [25, 21, 1, 4], [21, 4, 5, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S048
操作前
right modulus:original representative k=21 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S049
操作前
right modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 25, 0, 22], [25, 22, 1, 3], [22, 3, 7, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S050
操作前
right modulus:original representative k=22 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S051
操作前
right modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 25, 0, 23], [25, 23, 1, 2], [23, 2, 11, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S052
操作前
right modulus:original representative k=23 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S053
操作前
right modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 25, 0, 24], [25, 24, 1, 1], [24, 1, 24, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S054
操作前
right modulus:original representative k=24 in1..25;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S055
操作前
right modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 25]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 25, 1, 0]];terminal positive gcd=25
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S056
操作前
right modulus:original representative k=25 in1..25;verified gcd(k,n)=25
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S057
操作前
right modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0)
操作後
right modulus exact coprime indicator count = 20
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058
操作前
right modulus:complete representative range1..25;all selected coprime representatives=[1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24]
操作後
phi(25)=20;representatives_1_through_n
條件：無
全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。
規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S059
操作前
product modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 50, 0, 1], [50, 1, 50, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S060
操作前
product modulus:original representative k=1 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S061
操作前
product modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 50, 0, 2], [50, 2, 25, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S062
操作前
product modulus:original representative k=2 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S063
操作前
product modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 50, 0, 3], [50, 3, 16, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S064
操作前
product modulus:original representative k=3 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S065
操作前
product modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 50, 0, 4], [50, 4, 12, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S066
操作前
product modulus:original representative k=4 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S067
操作前
product modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 50, 0, 5], [50, 5, 10, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S068
操作前
product modulus:original representative k=5 in1..50;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S069
操作前
product modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 50, 0, 6], [50, 6, 8, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S070
操作前
product modulus:original representative k=6 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S071
操作前
product modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 50, 0, 7], [50, 7, 7, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S072
操作前
product modulus:original representative k=7 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S073
操作前
product modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 50, 0, 8], [50, 8, 6, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S074
操作前
product modulus:original representative k=8 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S075
操作前
product modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 50, 0, 9], [50, 9, 5, 5], [9, 5, 1, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S076
操作前
product modulus:original representative k=9 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S077
操作前
product modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 50, 0, 10], [50, 10, 5, 0]];terminal positive gcd=10
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S078
操作前
product modulus:original representative k=10 in1..50;verified gcd(k,n)=10
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S079
操作前
product modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 50, 0, 11], [50, 11, 4, 6], [11, 6, 1, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S080
操作前
product modulus:original representative k=11 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S081
操作前
product modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 50, 0, 12], [50, 12, 4, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S082
操作前
product modulus:original representative k=12 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S083
操作前
product modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 50, 0, 13], [50, 13, 3, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S084
操作前
product modulus:original representative k=13 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S085
操作前
product modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 50, 0, 14], [50, 14, 3, 8], [14, 8, 1, 6], [8, 6, 1, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S086
操作前
product modulus:original representative k=14 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S087
操作前
product modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 50, 0, 15], [50, 15, 3, 5], [15, 5, 3, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S088
操作前
product modulus:original representative k=15 in1..50;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S089
操作前
product modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 50, 0, 16], [50, 16, 3, 2], [16, 2, 8, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S090
操作前
product modulus:original representative k=16 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S091
操作前
product modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 50, 0, 17], [50, 17, 2, 16], [17, 16, 1, 1], [16, 1, 16, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S092
操作前
product modulus:original representative k=17 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S093
操作前
product modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 50, 0, 18], [50, 18, 2, 14], [18, 14, 1, 4], [14, 4, 3, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S094
操作前
product modulus:original representative k=18 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S095
操作前
product modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 50, 0, 19], [50, 19, 2, 12], [19, 12, 1, 7], [12, 7, 1, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S096
操作前
product modulus:original representative k=19 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S097
操作前
product modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 50, 0, 20], [50, 20, 2, 10], [20, 10, 2, 0]];terminal positive gcd=10
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S098
操作前
product modulus:original representative k=20 in1..50;verified gcd(k,n)=10
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S099
操作前
product modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 50, 0, 21], [50, 21, 2, 8], [21, 8, 2, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S100
操作前
product modulus:original representative k=21 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S101
操作前
product modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 50, 0, 22], [50, 22, 2, 6], [22, 6, 3, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S102
操作前
product modulus:original representative k=22 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S103
操作前
product modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 50, 0, 23], [50, 23, 2, 4], [23, 4, 5, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S104
操作前
product modulus:original representative k=23 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S105
操作前
product modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 50, 0, 24], [50, 24, 2, 2], [24, 2, 12, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S106
操作前
product modulus:original representative k=24 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S107
操作前
product modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 50, 0, 25], [50, 25, 2, 0]];terminal positive gcd=25
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S108
操作前
product modulus:original representative k=25 in1..50;verified gcd(k,n)=25
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S109
操作前
product modulus representative26:original nonnegative Euclidean inputs=[26, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[26, 50, 0, 26], [50, 26, 1, 24], [26, 24, 1, 2], [24, 2, 12, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S110
操作前
product modulus:original representative k=26 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S111
操作前
product modulus representative27:original nonnegative Euclidean inputs=[27, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[27, 50, 0, 27], [50, 27, 1, 23], [27, 23, 1, 4], [23, 4, 5, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S112
操作前
product modulus:original representative k=27 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S113
操作前
product modulus representative28:original nonnegative Euclidean inputs=[28, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[28, 50, 0, 28], [50, 28, 1, 22], [28, 22, 1, 6], [22, 6, 3, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S114
操作前
product modulus:original representative k=28 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S115
操作前
product modulus representative29:original nonnegative Euclidean inputs=[29, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[29, 50, 0, 29], [50, 29, 1, 21], [29, 21, 1, 8], [21, 8, 2, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S116
操作前
product modulus:original representative k=29 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S117
操作前
product modulus representative30:original nonnegative Euclidean inputs=[30, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[30, 50, 0, 30], [50, 30, 1, 20], [30, 20, 1, 10], [20, 10, 2, 0]];terminal positive gcd=10
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S118
操作前
product modulus:original representative k=30 in1..50;verified gcd(k,n)=10
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S119
操作前
product modulus representative31:original nonnegative Euclidean inputs=[31, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[31, 50, 0, 31], [50, 31, 1, 19], [31, 19, 1, 12], [19, 12, 1, 7], [12, 7, 1, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S120
操作前
product modulus:original representative k=31 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S121
操作前
product modulus representative32:original nonnegative Euclidean inputs=[32, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[32, 50, 0, 32], [50, 32, 1, 18], [32, 18, 1, 14], [18, 14, 1, 4], [14, 4, 3, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S122
操作前
product modulus:original representative k=32 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S123
操作前
product modulus representative33:original nonnegative Euclidean inputs=[33, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[33, 50, 0, 33], [50, 33, 1, 17], [33, 17, 1, 16], [17, 16, 1, 1], [16, 1, 16, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S124
操作前
product modulus:original representative k=33 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S125
操作前
product modulus representative34:original nonnegative Euclidean inputs=[34, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[34, 50, 0, 34], [50, 34, 1, 16], [34, 16, 2, 2], [16, 2, 8, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S126
操作前
product modulus:original representative k=34 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S127
操作前
product modulus representative35:original nonnegative Euclidean inputs=[35, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[35, 50, 0, 35], [50, 35, 1, 15], [35, 15, 2, 5], [15, 5, 3, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S128
操作前
product modulus:original representative k=35 in1..50;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S129
操作前
product modulus representative36:original nonnegative Euclidean inputs=[36, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[36, 50, 0, 36], [50, 36, 1, 14], [36, 14, 2, 8], [14, 8, 1, 6], [8, 6, 1, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S130
操作前
product modulus:original representative k=36 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S131
操作前
product modulus representative37:original nonnegative Euclidean inputs=[37, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[37, 50, 0, 37], [50, 37, 1, 13], [37, 13, 2, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S132
操作前
product modulus:original representative k=37 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S133
操作前
product modulus representative38:original nonnegative Euclidean inputs=[38, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[38, 50, 0, 38], [50, 38, 1, 12], [38, 12, 3, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S134
操作前
product modulus:original representative k=38 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S135
操作前
product modulus representative39:original nonnegative Euclidean inputs=[39, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[39, 50, 0, 39], [50, 39, 1, 11], [39, 11, 3, 6], [11, 6, 1, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S136
操作前
product modulus:original representative k=39 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S137
操作前
product modulus representative40:original nonnegative Euclidean inputs=[40, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[40, 50, 0, 40], [50, 40, 1, 10], [40, 10, 4, 0]];terminal positive gcd=10
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S138
操作前
product modulus:original representative k=40 in1..50;verified gcd(k,n)=10
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S139
操作前
product modulus representative41:original nonnegative Euclidean inputs=[41, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[41, 50, 0, 41], [50, 41, 1, 9], [41, 9, 4, 5], [9, 5, 1, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S140
操作前
product modulus:original representative k=41 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S141
操作前
product modulus representative42:original nonnegative Euclidean inputs=[42, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[42, 50, 0, 42], [50, 42, 1, 8], [42, 8, 5, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S142
操作前
product modulus:original representative k=42 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S143
操作前
product modulus representative43:original nonnegative Euclidean inputs=[43, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[43, 50, 0, 43], [50, 43, 1, 7], [43, 7, 6, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S144
操作前
product modulus:original representative k=43 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S145
操作前
product modulus representative44:original nonnegative Euclidean inputs=[44, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[44, 50, 0, 44], [50, 44, 1, 6], [44, 6, 7, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S146
操作前
product modulus:original representative k=44 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S147
操作前
product modulus representative45:original nonnegative Euclidean inputs=[45, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[45, 50, 0, 45], [50, 45, 1, 5], [45, 5, 9, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S148
操作前
product modulus:original representative k=45 in1..50;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S149
操作前
product modulus representative46:original nonnegative Euclidean inputs=[46, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[46, 50, 0, 46], [50, 46, 1, 4], [46, 4, 11, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S150
操作前
product modulus:original representative k=46 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S151
操作前
product modulus representative47:original nonnegative Euclidean inputs=[47, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[47, 50, 0, 47], [50, 47, 1, 3], [47, 3, 15, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S152
操作前
product modulus:original representative k=47 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S153
操作前
product modulus representative48:original nonnegative Euclidean inputs=[48, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[48, 50, 0, 48], [50, 48, 1, 2], [48, 2, 24, 0]];terminal positive gcd=2
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S154
操作前
product modulus:original representative k=48 in1..50;verified gcd(k,n)=2
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S155
操作前
product modulus representative49:original nonnegative Euclidean inputs=[49, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[49, 50, 0, 49], [50, 49, 1, 1], [49, 1, 49, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S156
操作前
product modulus:original representative k=49 in1..50;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S157
操作前
product modulus representative50:original nonnegative Euclidean inputs=[50, 50]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[50, 50, 1, 0]];terminal positive gcd=50
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S158
操作前
product modulus:original representative k=50 in1..50;verified gcd(k,n)=50
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S159
操作前
product modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0)
操作後
product modulus exact coprime indicator count = 20
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160
操作前
product modulus:complete representative range1..50;all selected coprime representatives=[1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49]
操作後
phi(50)=20;representatives_1_through_n
條件：無
全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。
規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S161
操作前
totient supplied instance product of counts := mul(1, 20)
操作後
totient supplied instance product of counts = 20
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S162
操作前
original coprime inputs=[2, 25];gcd=1;product modulus=50;exact totients=[1, 20, 20]
操作後
phi(m)*phi(n)=20;same supplied-instance equality=是;instance_only_with_coprimality
條件：無
先核互質且三個模數都在來源允許域，再完整計三個φ並比較。這只核當前實例；未互質不套用本題協定，也不把數值相等當一般乘法性定理的證明。
規則：totient_coprime_instance_not_unrestricted_multiplicativity_proof · 依賴：G001, S163
S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S163 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient supplied instance product of counts，不以小數近似替代。S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S159 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S157 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S156 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S155 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S154 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S153 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S152 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S151 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S150 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S149 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S148 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S147 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S146 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S145 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S143 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S142 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S140 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S139 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient multiplicativity original modulus product，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(2, 25, 1, 20, 20, 20, 是, instance_only_with_coprimality)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: b1244c20a1ba32ea13010fbb6995067819479a1d102dc506bc03877620627a71candidate record SHA-256: 0954b1644413a3a0c94028233d1fe66d6f60df9afa986604cef7b6782a45a10csemantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8equestion-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED