第 16910 題：向量空間維度

原題與已知條件

R²或R³完整座標族與精確rank證書。操作=dimension-basis-audit；資料={"dimension":2,"vectors":[[1,0],[9,1]]}。請依 [ambient_dimension,vector_count,rank,independent,spanning,basis] 欄序回答。

• G001 — R²或R³完整座標族與精確rank證書。操作=dimension-basis-audit；資料={"dimension":2,"vectors":[[1,0],[9,1]]}。請依 [ambient_dimension,vector_count,rank,independent,spanning,basis] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-vector-space-dimension

逐步推導

same usual real ambient R^2;original ORDERED vectors as columns=[[1, 0], [9, 1]]

complete row-coordinate matrix=[[1, 9], [0, 1]];vector count=2;zero/repeated vectors retained

dimension pivot row0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

dimension pivot row0 column0 normalized entry0 = 1

dimension pivot row0 column0 normalized entry1 := div(9, 1)

dimension pivot row0 column0 normalized entry1 = 9

pivot row=0;pivot column=0;nonzero exact pivot=1;old row=[1, 9]

divide whole row by pivot;normalized row=[1, 9]

dimension pivot row1 column1 normalized entry0 := div(0, 1)

dimension pivot row1 column1 normalized entry0 = 0

dimension pivot row1 column1 normalized entry1 := div(1, 1)

dimension pivot row1 column1 normalized entry1 = 1

pivot row=1;pivot column=1;nonzero exact pivot=1;old row=[0, 1]

divide whole row by pivot;normalized row=[0, 1]

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple := mul(9, 0)

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple = 0

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference := sub(1, 0)

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference = 1

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple := mul(9, 1)

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple = 9

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference := sub(9, 9)

dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference = 0

target row=0;old row=[1, 9];subtract factor=9 times normalized pivot row=[0, 1]

new target row=[1, 0];entry at pivot column1=0

original column family count=2;ambient dimension=2;final exact matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1]

rank=2;independent=是;spans whole ambient=是;basis=是

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, 2, 2, 是, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。