R0032-16972 · q-20261014-advance-20261102-r01-vector-space-dimension-0072
R²或R³完整座標族與精確rank證書。操作=dimension-independent-lower-bound；資料={"dimension":3,"vectors":[[1,0,0],[21,1,0]]}。請依 [vector_count,rank,independent,lower_bound] 欄序回答。
G001 — R²或R³完整座標族與精確rank證書。操作=dimension-independent-lower-bound；資料={"dimension":3,"vectors":[[1,0,0],[21,1,0]]}。請依 [vector_count,rank,independent,lower_bound] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same usual real ambient R^3;original ORDERED vectors as columns=[[1, 0, 0], [21, 1, 0]]
操作後
complete row-coordinate matrix=[[1, 21], [0, 1], [0, 0]];vector count=2;zero/repeated vectors retained
條件：無
欄是原向量，列是座標；來源允許零向量及重複向量，故不能拿semantic template去重後的族改掉數量或證書。用精確有理數列運算，視為實數上的可逆座標變換。
規則：dimension_actual_columns_not_semantic_deduplication · 依賴：G001
操作前
dimension pivot row0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)
操作後
dimension pivot row0 column0 normalized entry0 = 1
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
dimension pivot row0 column0 normalized entry1 := div(21, 1)
操作後
dimension pivot row0 column0 normalized entry1 = 21
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
pivot row=0;pivot column=0;nonzero exact pivot=1;old row=[1, 21]
操作後
divide whole row by pivot;normalized row=[1, 21]
條件：無
以同一非零pivot除整列，逐格列出精確分數；不能只改pivot格或用浮點近似。逆向乘回pivot即可恢復。
規則：dimension_nonzero_pivot_scaling_every_entry · 依賴：G001, S003
操作前
dimension pivot row1 column1 normalized entry0 := div(0, 1)
操作後
dimension pivot row1 column1 normalized entry0 = 0
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
dimension pivot row1 column1 normalized entry1 := div(1, 1)
操作後
dimension pivot row1 column1 normalized entry1 = 1
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
pivot row=1;pivot column=1;nonzero exact pivot=1;old row=[0, 1]
操作後
divide whole row by pivot;normalized row=[0, 1]
條件：無
以同一非零pivot除整列，逐格列出精確分數；不能只改pivot格或用浮點近似。逆向乘回pivot即可恢復。
規則：dimension_nonzero_pivot_scaling_every_entry · 依賴：G001, S006
操作前
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple := mul(21, 0)
操作後
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple = 0
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference := sub(1, 0)
操作後
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference = 1
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple := mul(21, 1)
操作後
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple = 21
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference := sub(21, 21)
操作後
dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference = 0
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
target row=0;old row=[1, 21];subtract factor=21 times normalized pivot row=[0, 1]
操作後
new target row=[1, 0];entry at pivot column1=0
條件：無
對每格減去factor倍pivot列，才將此pivot欄消零；加回同倍pivot列可逆，前後欄係數方程等價。
規則：dimension_exact_row_subtraction_all_coordinates · 依賴：G001, S011
操作前
original column family count=2;ambient dimension=3;final exact matrix=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]];pivot columns=[0, 1]
操作後
rank=2;independent=是;spans whole ambient=否;basis=否
條件：無
可逆列運算保留M·c=0的所有實係數解，所以pivot數為實秩，秩等欄數才獨立。左乘可逆E把原欄空間映為E作用後的空間，保維度及是否為全R^n，但不宣稱兩個實際欄空間逐點相同。秩等n才生成全ambient，兩者兼具才basis。
規則：dimension_pivots_relations_and_whole_ambient_spanning · 依賴：G001, S012
操作前
supplied original vector count=2;exact rank=2;independence=是
操作後
this family's lower-bound certificate=dimension_at_least_2
條件：無
若獨立，可在有限維ambient延伸到basis，故其m個向量不超過basis大小。若此族相關，只扣住這份以m為界的證書，不是否定ambient所有可能下界；不偷偷去重改題。
規則：dimension_independent_family_only_its_lower_bound · 依賴：G001, S013
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry1 multiple，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension eliminate row0 pivot1 column1 entry0 multiple，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dimension pivot row0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(2, 2, 是, dimension_at_least_2)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 7a71a60a36f131dafeb7141651c9b364b8510c7b9308f1295b5928f3b3f3a03ccandidate record SHA-256: a61245f7967ea8963b9fc89efa176581f4c4b7950e0a0c5b583a826a4f738e20semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8equestion-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED