第 17128 題：線性映射的核

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0033-17128 · q-20261014-advance-20261102-r02-linear-map-kernel-0078

原題與已知條件

同一精確2×2線性映射T:R²到R²。操作=kernel-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[1,3],[2,6]],"bound":3}。請依 [bound,integer_kernel_points,global_kernel_basis,complete,boundary] 欄序回答。

G001 — 同一精確2×2線性映射T:R²到R²。操作=kernel-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[1,3],[2,6]],"bound":3}。請依 [bound,integer_kernel_points,global_kernel_basis,complete,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-linear-map-kernel

逐步推導

S001 · calculation

操作前

real map determinant diagonal product := mul(1, 6)

操作後

real map determinant diagonal product = 6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

real map determinant off-diagonal product := mul(3, 2)

操作後

real map determinant off-diagonal product = 6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

real map exact determinant := sub(6, 6)

操作後

real map exact determinant = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

same ordered integer matrix=[[1, 3], [2, 6]];usual real map T:R2 to R2;original columns=[[1, 2], [3, 6]]

操作後

exact determinant=0;rank=1

條件：無

非零det給秩2；det=0時還要看是否全零，才分秩0或1。固定同一矩陣與通常實向量空間，不把列當欄或自動把像當整個codomain。

步驟識別與依賴

規則：real_map_same_matrix_det_and_nonzero_rank_cases · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

primitive kernel first coordinate := div(3, 1)

操作後

primitive kernel first coordinate = 3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

primitive kernel second coordinate := div(-1, 1)

操作後

primitive kernel second coordinate = -1

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

primitive kernel canonical sign coordinate0 := mul(1, 3)

操作後

primitive kernel canonical sign coordinate0 = 3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

primitive kernel canonical sign coordinate1 := mul(1, -1)

操作後

primitive kernel canonical sign coordinate1 = -1

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

other row dependence factor := div(2, 1)

操作後

other row dependence factor = 2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

other row dependence coordinate0 := mul(2, 1)

操作後

other row dependence coordinate0 = 2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

other row dependence coordinate1 := mul(2, 3)

操作後

other row dependence coordinate1 = 6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

FIRST nonzero original row index=0;row=[1, 3];gcd=1;raw integer kernel direction=[3, -1];canonical sign=1

操作後

primitive kernel basis=[[3, -1]];other original row=[2, 6]=(2)*selected row

條件：無

用首個非零原列解u·x+v·y=0，除gcd得到primitive整數方向，再讓第一個非零座標為正。已核另一列為它的倍數，所以兩列方程等價於這一個，不只憑det零猜解集。

步驟識別與依賴

規則：real_map_rank1_kernel_canonical_row_and_full_equation · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector row0 first term := mul(1, 3)

操作後

canonical kernel basis vector row0 first term = 3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector row0 second term := mul(3, -1)

操作後

canonical kernel basis vector row0 second term = -3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector image coordinate0 := sum(3, -3)

操作後

canonical kernel basis vector image coordinate0 = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector row1 first term := mul(2, 3)

操作後

canonical kernel basis vector row1 first term = 6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector row1 second term := mul(6, -1)

操作後

canonical kernel basis vector row1 second term = -6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

canonical kernel basis vector image coordinate1 := sum(6, -6)

操作後

canonical kernel basis vector image coordinate1 = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

one nonzero row equation(1)*x+(3)*y=0;nonzero verified kernel vector=[3, -1];chosen nonzero vector coordinate=0

操作後

EVERY real solution is lambda*[3, -1];choose lambda=solution_coordinate0/(3);conversely every real lambda multiple maps to0

條件：無

若w0非零，v亦非零，取λ=x/w0後由兩個零方程相減得v(y−λw1)=0，故y=λw1。若w0=0，則v=0、u非零，方程強制x=0而y任意。反向由線性性得每個實倍都在kernel，故不是整數格點清單。

步驟識別與依賴

規則：real_map_rank1_kernel_all_real_solutions_not_one_test · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

other column dependence factor := div(3, 1)

操作後

other column dependence factor = 3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

other column dependence coordinate0 := mul(3, 1)

操作後

other column dependence coordinate0 = 3

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

other column dependence coordinate1 := mul(3, 2)

操作後

other column dependence coordinate1 = 6

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

FIRST nonzero ORIGINAL column index=0;basis vector kept unnormalized=[1, 2];other original column=[3, 6]=(3)*basis

操作後

for ANY real(s,t),M(s,t)=((1)*s+(3)*t)*basis;EVERY lambda*basis obtained from input lambda*e0

條件：無

每個輸出是原兩欄的線性組合，已核它們同在此一欄的span；反向把λ放在該原欄的輸入座標即得到λ倍basis。故像恰為完整實span，不能把原欄改成primitive或拿列代替。

步驟識別與依賴

規則：real_map_rank1_image_both_inclusions_original_column · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

real kernel source dimension minus rank := sub(2, 1)

操作後

real kernel source dimension minus rank = 1

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

same real map rank=1;full kernel basis=[[3, -1]];full image basis=[[1, 2]]

操作後

nullity=1;image basis cardinality=1;rank plus nullity=2

條件：無

這些是已證完整實空間的basis個數，不是搜尋格點數；rank、nullity與像basis數量分開保留，同一來源維度為2。

步驟識別與依賴

規則：real_map_full_space_basis_counts_not_grid_counts · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-12, -24];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-9, -18];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-6, -12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-3, -6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[0, 0];equals target=是

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[3, 6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-3, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[6, 12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-11, -22];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-8, -16];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-5, -10];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-2, -4];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[1, 2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[4, 8];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-2, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[7, 14];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-10, -20];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-7, -14];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-4, -8];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-1, -2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[2, 4];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[5, 10];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[8, 16];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-9, -18];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-6, -12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-3, -6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[0, 0];equals target=是

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[3, 6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[6, 12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[9, 18];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-8, -16];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-5, -10];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-2, -4];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[1, 2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[4, 8];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[7, 14];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[10, 20];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-7, -14];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-4, -8];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-1, -2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[2, 4];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[5, 10];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[8, 16];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[2, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[11, 22];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, -3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-6, -12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, -2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[-3, -6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, -1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[0, 0];equals target=是

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, 0];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[3, 6];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, 1];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[6, 12];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, 2];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[9, 18];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

kernel bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[3, 3];same matrix=[[1, 3], [2, 6]];target=[0, 0]

操作後

exact row-dot image=[12, 24];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

kernel bounded search:bound=3;complete integer box pair count=49

操作後

all hits in original scan order=[[-3, 1], [0, 0], [3, -1]]

條件：無

上下界含端點，兩座標共有(2b+1)²組；每組已核，清單只對這個盒完整。

步驟識別與依賴

規則：real_map_complete_bounded_list_not_unbounded_search · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

bounded integer kernel points=[[-3, 1], [0, 0], [3, -1]];SEPARATE symbolic full-real basis=[[3, -1]]

操作後

general completeness inference from box alone=否;bounded_integer_search_not_full_real_kernel

條件：無

No只限制從整數盒推全部實kernel的推論，不否認另給的symbolic全域basis。某些特例盒內清單可能碰巧等於kernel，也不能把一般方法界線誤說成每例集合必不相等。

步驟識別與依賴

規則：kernel_box_scope_not_denial_of_symbolic_or_special_equality · 依賴：G001, S075

逐步反向核對

S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real kernel source dimension minus rank，不以小數近似替代。
S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence coordinate1，不以小數近似替代。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence coordinate0，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence factor，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector image coordinate1，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row1 second term，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row1 first term，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector image coordinate0，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row0 second term，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row0 first term，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence coordinate1，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence coordinate0，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence factor，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel canonical sign coordinate1，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel canonical sign coordinate0，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel second coordinate，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel first coordinate，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map exact determinant，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant diagonal product，不以小數近似替代。

結論

(3, [[-3, 1], [0, 0], [3, -1]], [[3, -1]], 否, bounded_integer_search_not_full_real_kernel)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 0f8990a273bd211ee57f9a086b75a3dd58005f780ae900eb975c97f555dcdea8
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