R0032-16855 · q-20261014-advance-20261102-r05-compact-topological-space-0080
完整有限carrier與完整拓撲或明示supplied cover。操作=compact-single-cover-boundary；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,1],[0,1,4],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"target":[0,1,2,4],"cover":[[0,1],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"selected":[1]}。請依 [selected_indexes,valid_subcover,proves_general_compactness,boundary] 欄序回答。
G001 — 完整有限carrier與完整拓撲或明示supplied cover。操作=compact-single-cover-boundary；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,1],[0,1,4],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"target":[0,1,2,4],"cover":[[0,1],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"selected":[1]}。請依 [selected_indexes,valid_subcover,proves_general_compactness,boundary] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same complete carrier Fin(5);original ordered complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
unique empty/whole opens=是;ordered open pairs checked=36;first union failure=null;first intersection failure=null
條件：無
個別子集須照原載體遞增且無重複，拓撲族須有唯一空集、全集並核全部二元聯／交。因不同開集有限，任意聯只涉及有限種開集，二元封閉加空集便足夠；不另供度量。保留拓撲原順序。
規則：topology_complete_finite_parent_all_pairs · 依賴：G001
操作前
original supplied cover index=0;member=[0, 1];same full topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原族成員核開性，保留重複集合的不同索引；未選中的非開成員也不能抹去。這只是供給族的合格性，不是反駁空間緊緻。
規則：compact_every_original_supplied_member_open · 依賴：G001, S001
操作前
original supplied cover index=1;member=[0, 1, 2, 4];same full topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原族成員核開性，保留重複集合的不同索引；未選中的非開成員也不能抹去。這只是供給族的合格性，不是反駁空間緊緻。
規則：compact_every_original_supplied_member_open · 依賴：G001, S002
操作前
original supplied cover index=2;member=[0, 1, 2, 3, 4];same full topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原族成員核開性，保留重複集合的不同索引；未選中的非開成員也不能抹去。這只是供給族的合格性，不是反駁空間緊緻。
規則：compact_every_original_supplied_member_open · 依賴：G001, S003
操作前
same supplied target=[0, 1, 2, 4];whole original family union=[0, 1, 2, 3, 4];nonopen indices=[]
操作後
covers target=是;original supplied cover valid=是
條件：無
覆蓋只要求聯集包含這個目標，可超過目標；全體開性與覆蓋須同時成立。供給族失敗不會否定有限空間的全稱緊緻定理。
規則：compact_supplied_openness_and_coverage_not_universal_theorem · 依賴：G001, S004
操作前
original selected indices=[1];sorted duplicate-free indices=[1];original indexed members=[[0, 1, 2, 4]]
操作後
selected union=[0, 1, 2, 4];selected all open=是;selected covers target=是;whole original family qualified=是;valid subcover=是
條件：無
只依原索引選取，不製造新開集；原族仍須先有效，好的選取不能修好未選原成員的壞資料。空目標可由空選取覆蓋。
規則：compact_selected_original_subcover_whole_family_premise · 依賴：G001, S005
操作前
this one supplied cover;selected original indices=[1];valid subcover=是
操作後
proves general compactness from one audit=否;one_supplied_cover_does_not_prove_general_compactness
條件：無
No只保留單次證據不能負擔一般全稱的界線，不把這個已由有限性另有證書的空間說成不緊緻，也不據有限測試分類無限空間。
規則：compact_single_instance_not_all_covers_or_noncompactness · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([1], 是, 否, one_supplied_cover_does_not_prove_general_compactness)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 19c6fb6c1e73899fc747f14e47702acadaaab5342ac15f65cd91b4f17a788345candidate record SHA-256: fd8d03560221c6923a3615429a38af00a15e9a6c3263a839d27d99e459a9cfa3semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8equestion-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED