第 17639 題：矩陣秩

原題與已知條件

2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-exact-rref；資料={"matrix":[[1,13],[0,14]]}。請依 [matrix,rref,pivot_columns,rank,certificate] 欄序回答。

• G001 — 2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-exact-rref；資料={"matrix":[[1,13],[0,14]]}。請依 [matrix,rref,pivot_columns,rank,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-matrix-rank

逐步推導

rank pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

rank pivot0 column0 normalized entry0 = 1

rank pivot0 column0 normalized entry1 := div(13, 1)

rank pivot0 column0 normalized entry1 = 13

pivot row=0;pivot column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 13]

normalized full row=[1, 13]

rank pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 14)

rank pivot1 column1 normalized entry0 = 0

rank pivot1 column1 normalized entry1 := div(14, 14)

rank pivot1 column1 normalized entry1 = 1

pivot row=1;pivot column=1;nonzero pivot=14;old row=[0, 14]

normalized full row=[0, 1]

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product := mul(13, 0)

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product = 0

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference := sub(1, 0)

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference = 1

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product := mul(13, 1)

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product = 13

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference := sub(13, 13)

rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference = 0

target row=0;old row=[1, 13];subtract factor=13 times pivot row=[0, 1]

new row=[1, 0];cleared pivot-column entry=0

complete original square matrix=[[1, 13], [0, 14]];final exact RREF=[[1, 0], [0, 1]];increasing pivot columns=[0, 1]

all rows retained inclzero;rank=2;row operations invertible;row-rank equals column-rank by the finite-dimensional theorem

whole original matrix diagonal product := mul(1, 14)

whole original matrix diagonal product = 14

whole original matrix off-diagonal product := mul(13, 0)

whole original matrix off-diagonal product = 0

whole original matrix determinant difference := sub(14, 0)

whole original matrix determinant difference = 14

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix determinant difference，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix diagonal product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。

結論

([[1, 13], [0, 14]], [[1, 0], [0, 1]], [0, 1], 2, rank_preserving_exact_row_operations)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。