第 17606 題：矩陣秩

原題與已知條件

2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-determinant-zero-boundary；資料={"matrix":[[1,6],[2,12]]}。請依 [determinant,zero,rank,consequence,boundary] 欄序回答。

• G001 — 2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-determinant-zero-boundary；資料={"matrix":[[1,6],[2,12]]}。請依 [determinant,zero,rank,consequence,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-matrix-rank

逐步推導

rank pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

rank pivot0 column0 normalized entry0 = 1

rank pivot0 column0 normalized entry1 := div(6, 1)

rank pivot0 column0 normalized entry1 = 6

pivot row=0;pivot column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 6]

normalized full row=[1, 6]

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 product := mul(2, 1)

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 product = 2

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 difference := sub(2, 2)

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 difference = 0

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 product := mul(2, 6)

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 product = 12

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 difference := sub(12, 12)

rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 difference = 0

target row=1;old row=[2, 12];subtract factor=2 times pivot row=[1, 6]

new row=[0, 0];cleared pivot-column entry=0

whole matrix column=1;unused row indices=[1];remaining column values=[0]

no nonzero pivot;current pivot count=1

complete original square matrix=[[1, 6], [2, 12]];final exact RREF=[[1, 6], [0, 0]];increasing pivot columns=[0]

all rows retained inclzero;rank=1;row operations invertible;row-rank equals column-rank by the finite-dimensional theorem

whole original matrix diagonal product := mul(1, 12)

whole original matrix diagonal product = 12

whole original matrix off-diagonal product := mul(6, 2)

whole original matrix off-diagonal product = 12

whole original matrix determinant difference := sub(12, 12)

whole original matrix determinant difference = 0

exact determinant=0;det-zero premise=是;SEPARATE full RREF rank=1

consequence=det_zero_only_excludes_full_rank;zero_determinant_does_not_determine_exact_rank

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix determinant difference，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix diagonal product，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 difference，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row1 pivot0 column0 entry1 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 difference，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row1 pivot0 column0 entry0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。

結論

(0, 是, 1, det_zero_only_excludes_full_rank, zero_determinant_does_not_determine_exact_rank)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。