第 18330 題：秩零度定理

原題與已知條件

明示m×n矩陣代表T:R^n到R^m並使用exact RREF。操作=ranknull-kernel-image-certificate；資料={"matrix":[[1,0,4],[0,1,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 明示m×n矩陣代表T:R^n到R^m並使用exact RREF。操作=ranknull-kernel-image-certificate；資料={"matrix":[[1,0,4],[0,1,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-rank-nullity-theorem

逐步推導

source operation=ranknull-kernel-image-certificate;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[kernel_basis, original_pivot_column_basis, nullity, rank, identity, certificate]

complete original matrix=[[1, 0, 4], [0, 1, 1]];shape=2 rows by3 columns

usual real map T:R^3 to R^2;SOURCE dimension=3;TARGET dimension=2

ranknull pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

ranknull pivot0 column0 normalized entry0 = 1

ranknull pivot0 column0 normalized entry1 := div(0, 1)

ranknull pivot0 column0 normalized entry1 = 0

ranknull pivot0 column0 normalized entry2 := div(4, 1)

ranknull pivot0 column0 normalized entry2 = 4

pivot row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old row=[1, 0, 4]

normalized complete row=[1, 0, 4]

ranknull pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1)

ranknull pivot1 column1 normalized entry0 = 0

ranknull pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1)

ranknull pivot1 column1 normalized entry1 = 1

ranknull pivot1 column1 normalized entry2 := div(1, 1)

ranknull pivot1 column1 normalized entry2 = 1

pivot row=1;column=1;nonzero exact pivot=1;old row=[0, 1, 1]

normalized complete row=[0, 1, 1]

ranknull free2 pivot0 solved coordinate := mul(-1, 4)

ranknull free2 pivot0 solved coordinate = -4

ranknull free2 pivot1 solved coordinate := mul(-1, 1)

ranknull free2 pivot1 solved coordinate = -1

selected free column=2;ALL free columns=[2];same exact RREF=[[1, 0, 4], [0, 1, 1]]

set selected free coordinate1,other free coordinates0;solved kernel vector=[-4, -1, 1];NO primitive/sign renormalization

ranknull kernel free2 original row0 term0 := mul(1, -4)

ranknull kernel free2 original row0 term0 = -4

ranknull kernel free2 original row0 term1 := mul(0, -1)

ranknull kernel free2 original row0 term1 = 0

ranknull kernel free2 original row0 term2 := mul(4, 1)

ranknull kernel free2 original row0 term2 = 4

ranknull kernel free2 original row0 sum := sum(-4, 0, 4)

ranknull kernel free2 original row0 sum = 0

ranknull kernel free2 original row1 term0 := mul(0, -4)

ranknull kernel free2 original row1 term0 = 0

ranknull kernel free2 original row1 term1 := mul(1, -1)

ranknull kernel free2 original row1 term1 = -1

ranknull kernel free2 original row1 term2 := mul(1, 1)

ranknull kernel free2 original row1 term2 = 1

ranknull kernel free2 original row1 sum := sum(0, -1, 1)

ranknull kernel free2 original row1 sum = 0

complete exact RREF=[[1, 0, 4], [0, 1, 1]];pivot columns=[0, 1];free columns=[2];verified kernel vectors=[[-4, -1, 1]]

for ANY real solution,its free coordinates are unique combination coefficients of these vectors;pivot equations determine the rest;free-coordinate identity also proves independence

ranknull image column0 row0 pivot0 term := mul(1, 1)

ranknull image column0 row0 pivot0 term = 1

ranknull image column0 row0 pivot1 term := mul(0, 0)

ranknull image column0 row0 pivot1 term = 0

ranknull image column0 row0 sum := sum(1, 0)

ranknull image column0 row0 sum = 1

ranknull image column0 row1 pivot0 term := mul(0, 1)

ranknull image column0 row1 pivot0 term = 0

ranknull image column0 row1 pivot1 term := mul(1, 0)

ranknull image column0 row1 pivot1 term = 0

ranknull image column0 row1 sum := sum(0, 0)

ranknull image column0 row1 sum = 0

original column index=0;ORIGINAL pivot-column basis=[[1, 0], [0, 1]];RREF coordinate coefficients=[1, 0]

reconstructed original column=[1, 0]

ranknull image column1 row0 pivot0 term := mul(1, 0)

ranknull image column1 row0 pivot0 term = 0

ranknull image column1 row0 pivot1 term := mul(0, 1)

ranknull image column1 row0 pivot1 term = 0

ranknull image column1 row0 sum := sum(0, 0)

ranknull image column1 row0 sum = 0

ranknull image column1 row1 pivot0 term := mul(0, 0)

ranknull image column1 row1 pivot0 term = 0

ranknull image column1 row1 pivot1 term := mul(1, 1)

ranknull image column1 row1 pivot1 term = 1

ranknull image column1 row1 sum := sum(0, 1)

ranknull image column1 row1 sum = 1

original column index=1;ORIGINAL pivot-column basis=[[1, 0], [0, 1]];RREF coordinate coefficients=[0, 1]

reconstructed original column=[0, 1]

ranknull image column2 row0 pivot0 term := mul(1, 4)

ranknull image column2 row0 pivot0 term = 4

ranknull image column2 row0 pivot1 term := mul(0, 1)

ranknull image column2 row0 pivot1 term = 0

ranknull image column2 row0 sum := sum(4, 0)

ranknull image column2 row0 sum = 4

ranknull image column2 row1 pivot0 term := mul(0, 4)

ranknull image column2 row1 pivot0 term = 0

ranknull image column2 row1 pivot1 term := mul(1, 1)

ranknull image column2 row1 pivot1 term = 1

ranknull image column2 row1 sum := sum(0, 1)

ranknull image column2 row1 sum = 1

original column index=2;ORIGINAL pivot-column basis=[[1, 0], [0, 1]];RREF coordinate coefficients=[4, 1]

reconstructed original column=[4, 1]

ORIGINAL pivot-column family=[[1, 0], [0, 1]];pivot indices=[0, 1];same RREF pivot columns=[[1, 0], [0, 1]]

ANY zero combination stays zero under invertible row operations;distinct target-coordinate identity columns force EVERY coefficient0;family independent,and previous reconstructions prove full image span

ranknull source dimension identity sum := sum(1, 2)

ranknull source dimension identity sum = 3

original matrix shape=2x3;rank=2;FULL kernel basis count=1;FULL original-pivot image basis count=2

SOURCE column dimension=3=nullity+rank=3;target row dimension=2 retained separately

逐步反向核對

• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull source dimension identity sum，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row1 sum，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row1 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row1 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row0 sum，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row0 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column2 row0 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row1 sum，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row1 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row1 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row0 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column1 row0 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row1 sum，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row1 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row1 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row0 sum，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row0 pivot1 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull image column0 row0 pivot0 term，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row1 sum，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row1 term2，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row1 term1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row1 term0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row0 sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row0 term2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row0 term1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull kernel free2 original row0 term0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull free2 pivot1 solved coordinate，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull free2 pivot0 solved coordinate，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ranknull pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[-4, -1, 1]], [[1, 0], [0, 1]], 1, 2, 是, exact_symbolic_certificates)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。