第 18866 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1555,"b":112}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1555,"b":112}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1555,b=112

initial nonnegative chain values=[1555, 112];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1555, 112)

Euclid step0 exact ratio = 1555/112

Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 112)

Euclid step0 quotient times divisor = 1456

Euclid step0 remainder := sub(1555, 1456)

Euclid step0 remainder = 99

step=0;left=1555;positive right=112;exact ratio=1555/112;floor quotient=13

left=right*q+r with r=99 in[0,112);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(112, 99)

Euclid step1 exact ratio = 112/99

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 99)

Euclid step1 quotient times divisor = 99

Euclid step1 remainder := sub(112, 99)

Euclid step1 remainder = 13

step=1;left=112;positive right=99;exact ratio=112/99;floor quotient=1

left=right*q+r with r=13 in[0,99);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(99, 13)

Euclid step2 exact ratio = 99/13

Euclid step2 quotient times divisor := mul(7, 13)

Euclid step2 quotient times divisor = 91

Euclid step2 remainder := sub(99, 91)

Euclid step2 remainder = 8

step=2;left=99;positive right=13;exact ratio=99/13;floor quotient=7

left=right*q+r with r=8 in[0,13);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(13, 8)

Euclid step3 exact ratio = 13/8

Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 8)

Euclid step3 quotient times divisor = 8

Euclid step3 remainder := sub(13, 8)

Euclid step3 remainder = 5

step=3;left=13;positive right=8;exact ratio=13/8;floor quotient=1

left=right*q+r with r=5 in[0,8);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 exact ratio := div(8, 5)

Euclid step4 exact ratio = 8/5

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 5)

Euclid step4 quotient times divisor = 5

Euclid step4 remainder := sub(8, 5)

Euclid step4 remainder = 3

step=4;left=8;positive right=5;exact ratio=8/5;floor quotient=1

left=right*q+r with r=3 in[0,5);gcd pair=[1, 1]

Euclid step5 exact ratio := div(5, 3)

Euclid step5 exact ratio = 5/3

Euclid step5 quotient times divisor := mul(1, 3)

Euclid step5 quotient times divisor = 3

Euclid step5 remainder := sub(5, 3)

Euclid step5 remainder = 2

step=5;left=5;positive right=3;exact ratio=5/3;floor quotient=1

left=right*q+r with r=2 in[0,3);gcd pair=[1, 1]

Euclid step6 exact ratio := div(3, 2)

Euclid step6 exact ratio = 3/2

Euclid step6 quotient times divisor := mul(1, 2)

Euclid step6 quotient times divisor = 2

Euclid step6 remainder := sub(3, 2)

Euclid step6 remainder = 1

step=6;left=3;positive right=2;exact ratio=3/2;floor quotient=1

left=right*q+r with r=1 in[0,2);gcd pair=[1, 1]

Euclid step7 exact ratio := div(2, 1)

Euclid step7 exact ratio = 2

Euclid step7 quotient times divisor := mul(2, 1)

Euclid step7 quotient times divisor = 2

Euclid step7 remainder := sub(2, 2)

Euclid step7 remainder = 0

step=7;left=2;positive right=1;exact ratio=2;floor quotient=2

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1555, 112, 13, 99], [112, 99, 1, 13], [99, 13, 7, 8], [13, 8, 1, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 remainder，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 exact ratio，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]], 1, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。