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第 19408 題：色數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 98

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R0037-19408 · q-20261014-advance-20261106-r01-chromatic-number-0058

原題與已知條件

完整有限簡單圖、proper vertex coloring與exact最小性證書。操作=chromatic-exact-number；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,2],[0,3],[0,5],[1,2],[1,3],[2,3],[3,4],[4,5]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限簡單圖、proper vertex coloring與exact最小性證書。操作=chromatic-exact-number；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,2],[0,3],[0,5],[1,2],[1,3],[2,3],[3,4],[4,5]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=chromatic-exact-number;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[chromatic_number, canonical_coloring, lower_bound_exhausted, certificate]

條件：無

原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列原始欄位順序，不需JavaScript或查外部表。欄位名字本身不自動是數學證據，No依各題的聲稱範圍解讀。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ACTUAL complete finite carrier Fin(6);ALL original canonical simple undirected edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 5], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]

操作後

use full original vertex/edge data;exact search domain n<=9;empty carrier and isolated vertices RETAINED

條件：無

頂點與邊完整且索引原封不動；此題族含n=0，不能套前題n至少1或把孤立點刪掉。後面實際palette標籤不能被semantic改名取代。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_complete_graph_not_semantic_color_relabeling · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,1);original vertex order0..5

操作後

search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune

條件：無

每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

palette=1;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

palette=1;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

palette=1;original vertex=1;original fixed prefix=[0];ALL colors0..0 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

palette=1;original prefix=[];vertex=0;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

palette=1;original vertex=0;original fixed prefix=[];ALL colors0..0 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

palette[0,1) searched from EMPTY root prefix with full branch exclusions

操作後

NO proper coloring exists in this palette;any smaller palette is a subset of it

條件：無

完整根樹耗盡才給真正lower證據；任意更少顏色可嵌入此palette，故也被排除，不依賴任一greedy路徑。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_actual_lower_palette_exhaustion · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,2);original vertex order0..5

操作後

search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune

條件：無

每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

palette=2;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;original fixed prefix=[0, 1];ALL colors0..1 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

palette=2;original prefix=[0];vertex=1;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;original fixed prefix=[0];ALL colors0..1 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

palette=2;original prefix=[];vertex=0;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

palette=2;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

palette=2;original vertex=2;original fixed prefix=[1, 0];ALL colors0..1 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

palette=2;original prefix=[1];vertex=1;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

palette=2;original vertex=1;original fixed prefix=[1];ALL colors0..1 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

palette=2;original prefix=[];vertex=0;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

palette=2;original vertex=0;original fixed prefix=[];ALL colors0..1 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

palette[0,2) searched from EMPTY root prefix with full branch exclusions

操作後

NO proper coloring exists in this palette;any smaller palette is a subset of it

條件：無

完整根樹耗盡才給真正lower證據；任意更少顏色可嵌入此palette，故也被排除，不依賴任一greedy路徑。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_actual_lower_palette_exhaustion · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,3);original vertex order0..5

操作後

search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune

條件：無

每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

palette=3;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[0, 1, 2];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[0, 1];vertex=2;chosen color=2;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[0, 1];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[0];vertex=1;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2, 1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[0, 2, 1];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[0, 2];vertex=2;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[0, 2];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[0];vertex=1;chosen color=2;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;original fixed prefix=[0];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[];vertex=0;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

palette=3;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0, 2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0, 2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 0, 2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[1, 0, 2];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[1, 0];vertex=2;chosen color=2;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[1, 0];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[1];vertex=1;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2, 0];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[1, 2, 0];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[1, 2];vertex=2;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[1, 2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[1, 2];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[1];vertex=1;chosen color=2;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;original fixed prefix=[1];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[];vertex=0;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

palette=3;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0, 1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[2, 0, 1];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[2, 0];vertex=2;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 0];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[2, 0];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[2];vertex=1;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1, 0];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

palette=3;original vertex=3;original fixed prefix=[2, 1, 0];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[2, 1];vertex=2;chosen color=0;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[2, 1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

palette=3;original vertex=2;original fixed prefix=[2, 1];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[2];vertex=1;chosen color=1;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S105

S107 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S106

S108 · implies

操作前

palette=3;original vertex=1;original fixed prefix=[2];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S107

S109 · implies

操作前

palette=3;original prefix=[];vertex=0;chosen color=2;ALL its later completions exhausted

操作後

restore this unassigned coordinate and try the next ascending color

條件：無

子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

palette=3;original vertex=0;original fixed prefix=[];ALL colors0..2 attempted

操作後

no valid completion of this prefix in this palette

條件：無

此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S109

S111 · implies

操作前

palette[0,3) searched from EMPTY root prefix with full branch exclusions

操作後

NO proper coloring exists in this palette;any smaller palette is a subset of it

條件：無

完整根樹耗盡才給真正lower證據；任意更少顏色可嵌入此palette，故也被排除，不依賴任一greedy路徑。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_actual_lower_palette_exhaustion · 依賴：G001, S110

S112 · implies

操作前

ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,4);original vertex order0..5

操作後

search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune

條件：無

每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S111

S113 · implies

操作前

palette=4;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

palette=4;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S113

S115 · implies

操作前

palette=4;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S114

S116 · implies

操作前

palette=4;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S115

S117 · implies

操作前

palette=4;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S116

S118 · implies

操作前

palette=4;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S117

S119 · implies

操作前

palette=4;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S118

S120 · implies

操作前

palette=4;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[1];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S119

S121 · implies

操作前

palette=4;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=2

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S120

S122 · implies

操作前

palette=4;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2];try next ascending color=3

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S121

S123 · implies

操作前

palette=4;original vertex=4;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2, 3];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S122

S124 · implies

操作前

palette=4;original vertex=5;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2, 3, 0];try next ascending color=0

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0, 4];admissible extension=否

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S123

S125 · implies

操作前

palette=4;original vertex=5;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 2, 3, 0];try next ascending color=1

操作後

ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是

條件：無

列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S124

S126 · implies

操作前

FIRST completed vertex-order increasing-color search witness=[0, 1, 2, 3, 0, 1];palette size=4;ALL smaller palettes exhausted

操作後

every ORIGINAL edge endpoints different;constructive chi<= 4 and exhaustive chi>= 4;chi=4;first LEX witness retained

條件：無

找到的完整著色逐原邊合法給上界，前面的完整失敗palette給下界；二者相等才是exact最小值。因DFS原順序，這是來源第一個lex witness，非任意同色數解。非空無邊時第一個k=1給全0，不需虛構0色搜尋。

步驟識別與依賴

規則：chromatic_constructive_upper_and_exhausted_lower_tie_order · 依賴：G001, S125

逐步反向核對

  • S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(4, [0, 1, 2, 3, 0, 1], 是, exhaustive_lower_and_constructive_upper_certificates)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 04c04d97f679669487f51b9bf96ef2c35390d78672cd6b78b08e0a21416f99dc
  • candidate record SHA-256: 1451ab99ce1801f07dfc218cf51bce2af2364d0f36e31aa65aeb442f51862a03
  • semantic review receipt SHA-256: 065507b602ceee60cf47a700d387a51940e0c6724c35a3336a7a7948a199ed80
  • question-first witness SHA-256: 7203f33b030792559673b0fee520a8c0e70903c4dd970b35293aa40852f333d6
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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