第 22269 題：微分中值定理

原題與已知條件

f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":4,"B":8,"C":325,"a":-20,"b":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":4,"B":8,"C":325,"a":-20,"b":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-mean-value-theorem

逐步推導

source operation=mvt-polynomial-witness;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[c, strictly_interior, derivative_at_c, secant_slope, equal, certificate]

ORIGINAL WHOLE f(t)=(4)t^2+(8)t+(325);a=-20<b=21;all endpoint[Ax,Axx,Bx,Axx+Bx,Axx+Bx+C] rows=[[-80, 1600, -160, 1440, 1765], [84, 1764, 168, 1932, 2257]]

English source ALL endpoint intermediate SAFE guards passed;polynomial continuous on CLOSED[a,b] and differentiable on OPEN(a,b),not inferred from finite samples

MVT endpointa ORIGINAL A times x := mul(4, -20)

MVT endpointa ORIGINAL A times x = -80

MVT endpointa A*x times x := mul(-80, -20)

MVT endpointa A*x times x = 1600

MVT endpointa ORIGINAL B times x := mul(8, -20)

MVT endpointa ORIGINAL B times x = -160

MVT endpointa quadratic plus linear := sum(1600, -160)

MVT endpointa quadratic plus linear = 1440

MVT endpointa plus ORIGINAL constant := sum(1440, 325)

MVT endpointa plus ORIGINAL constant = 1765

MVT endpointb ORIGINAL A times x := mul(4, 21)

MVT endpointb ORIGINAL A times x = 84

MVT endpointb A*x times x := mul(84, 21)

MVT endpointb A*x times x = 1764

MVT endpointb ORIGINAL B times x := mul(8, 21)

MVT endpointb ORIGINAL B times x = 168

MVT endpointb quadratic plus linear := sum(1764, 168)

MVT endpointb quadratic plus linear = 1932

MVT endpointb plus ORIGINAL constant := sum(1932, 325)

MVT endpointb plus ORIGINAL constant = 2257

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) := sub(2257, 1765)

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) = 492

MVT ORIGINAL ordered interval length := sub(21, -20)

MVT ORIGINAL ordered interval length = 41

MVT exact secant slope := div(492, 41)

MVT exact secant slope = 12

MVT ORIGINAL endpoint sum := sum(-20, 21)

MVT ORIGINAL endpoint sum = 1

MVT midpoint c := div(1, 2)

MVT midpoint c = 1/2

MVT c minus ORIGINAL a := sub(1/2, -20)

MVT c minus ORIGINAL a = 41/2

MVT ORIGINAL b minus c := sub(21, 1/2)

MVT ORIGINAL b minus c = 41/2

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A := mul(2, 4)

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A = 8

MVT derivative linear term at c := mul(8, 1/2)

MVT derivative linear term at c = 4

MVT derivative plus ORIGINAL B := sum(4, 8)

MVT derivative plus ORIGINAL B = 12

ORIGINAL polynomial coefficients=[4, 8, 325];c=1/2,c-a=41/2>0,b-c=41/2>0

derivative2*A*c+B=12;exact secant=12;equal=是;A0 means ALL interior points work,not a unique midpoint

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative plus ORIGINAL B，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative linear term at c，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL b minus c，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT c minus ORIGINAL a，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT midpoint c，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT exact secant slope，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL ordered interval length，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb A*x times x，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa A*x times x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(1/2, 是, 12, 12, 是, quadratic_midpoint_witness)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。