第 22139 題：有限因數格上的Möbius反演

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0043-22139 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0089

原題與已知條件

positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":240,"a":14,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":240,"a":14,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-mobius-inversion-finite-divisors

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=mobinv-incomplete-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[n, all_divisors, omitted_divisor, partial_divisors, complete_value, partial_value, f_n, incomplete_certificate, boundary]

條件：無

原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual positive input=240;check complete integer range1..240

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[]

操作後

mu=1;empty product case=是;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(240, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 240

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1):actual positive input=240;check complete integer range1..240

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor = 210

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b := sum(210, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b = 211

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 16)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor = 224

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b := sum(224, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b = 225

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 24)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor = 336

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b := sum(336, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b = 337

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 30)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor = 420

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b := sum(420, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b = 421

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 40)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) ORIGINAL a times divisor = 560

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) plus ORIGINAL b := sum(560, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) plus ORIGINAL b = 561

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 48)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) ORIGINAL a times divisor = 672

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) plus ORIGINAL b := sum(672, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) plus ORIGINAL b = 673

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 60)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor = 840

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b := sum(840, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b = 841

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 80)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) ORIGINAL a times divisor = 1120

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) plus ORIGINAL b := sum(1120, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) plus ORIGINAL b = 1121

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 120)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) ORIGINAL a times divisor = 1680

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) plus ORIGINAL b := sum(1680, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) plus ORIGINAL b = 1681

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 240)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) ORIGINAL a times divisor = 3360

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) plus ORIGINAL b := sum(3360, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) plus ORIGINAL b = 3361

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 71, 85, 113, 141, 169, 211, 225, 281, 337, 421, 561, 673, 841, 1121, 1681, 3361)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum = 10436

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 10436)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 10436

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S049

S051 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2

操作後

complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S052

S054 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(240, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 120

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2):actual positive input=120;check complete integer range1..120

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057

S059 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069

S071 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor = 210

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b := sum(210, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b = 211

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 24)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) ORIGINAL a times divisor = 336

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) plus ORIGINAL b := sum(336, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) plus ORIGINAL b = 337

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 30)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor = 420

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b := sum(420, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b = 421

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080

S082 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 40)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) ORIGINAL a times divisor = 560

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081

S083 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) plus ORIGINAL b := sum(560, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) plus ORIGINAL b = 561

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082

S084 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 60)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) ORIGINAL a times divisor = 840

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083

S085 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) plus ORIGINAL b := sum(840, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) plus ORIGINAL b = 841

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084

S086 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 120)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) ORIGINAL a times divisor = 1680

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085

S087 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) plus ORIGINAL b := sum(1680, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) plus ORIGINAL b = 1681

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086

S088 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 71, 85, 113, 141, 169, 211, 281, 337, 421, 561, 841, 1681)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum = 5056

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 5056)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -5056

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S090

S092 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3

操作後

complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S093

S095 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(240, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 80

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3):actual positive input=80;check complete integer range1..80

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S095

S097 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096

S098 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097

S099 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098

S100 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099

S101 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100

S102 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101

S103 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102

S104 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103

S105 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104

S106 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105

S107 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106

S108 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107

S109 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 16)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) ORIGINAL a times divisor = 224

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108

S110 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) plus ORIGINAL b := sum(224, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) plus ORIGINAL b = 225

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109

S111 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110

S112 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111

S113 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 40)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) ORIGINAL a times divisor = 560

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112

S114 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) plus ORIGINAL b := sum(560, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) plus ORIGINAL b = 561

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113

S115 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 80)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) ORIGINAL a times divisor = 1120

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114

S116 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) plus ORIGINAL b := sum(1120, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) plus ORIGINAL b = 1121

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115

S117 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57, 71, 113, 141, 225, 281, 561, 1121)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum = 2614

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116

S118 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 2614)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -2614

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117

S119 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S118

S120 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S119

S121 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120

S122 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121

S123 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S122

S124 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123

S125 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124

S126 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S125

S127 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S126

S128 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(240, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 60

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127

S129 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4):actual positive input=60;check complete integer range1..60

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S128

S130 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129

S131 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130

S132 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131

S133 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132

S134 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133

S135 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134

S136 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135

S137 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136

S138 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S137

S139 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138

S140 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139

S141 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140

S142 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141

S143 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142

S144 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143

S145 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144

S146 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor = 210

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S145

S147 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b := sum(210, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b = 211

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146

S148 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147

S149 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148

S150 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 30)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) ORIGINAL a times divisor = 420

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149

S151 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) plus ORIGINAL b := sum(420, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) plus ORIGINAL b = 421

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150

S152 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 60)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) ORIGINAL a times divisor = 840

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151

S153 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) plus ORIGINAL b := sum(840, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) plus ORIGINAL b = 841

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152

S154 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 71, 85, 141, 169, 211, 281, 421, 841)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum = 2364

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153

S155 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 2364)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154

S156 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:actual positive input for mu=5

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S155

S157 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=5>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S156

S158 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=5;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=0;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S157

S159 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 5)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158

S160 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=5

操作後

complete increasing prime multiset=[5];full product=5;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S159

S161 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:input=5;COMPLETE prime multiset=[5];distinct primes=[5]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S160

S162 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 := div(240, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 = 48

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S161

S163 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5):actual positive input=48;check complete integer range1..48

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S162

S164 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S163

S165 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S164

S166 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S165

S167 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S166

S168 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S167

S169 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168

S170 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S169

S171 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170

S172 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S171

S173 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S172

S174 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S173

S175 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S174

S176 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S175

S177 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176

S178 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 16)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) ORIGINAL a times divisor = 224

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S177

S179 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) plus ORIGINAL b := sum(224, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) plus ORIGINAL b = 225

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S178

S180 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 24)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) ORIGINAL a times divisor = 336

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179

S181 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) plus ORIGINAL b := sum(336, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) plus ORIGINAL b = 337

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S180

S182 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 48)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) ORIGINAL a times divisor = 672

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S181

S183 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) plus ORIGINAL b := sum(672, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) plus ORIGINAL b = 673

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S182

S184 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 85, 113, 169, 225, 337, 673)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum = 1746

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S183

S185 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) := mul(-1, 1746)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) = -1746

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S184

S186 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S185

S187 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S186

S188 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S187

S189 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S188

S190 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S189

S191 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 6

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S190

S192 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S191

S193 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3]

操作後

mu=1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S192

S194 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(240, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 40

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S193

S195 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6):actual positive input=40;check complete integer range1..40

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S194

S196 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S195

S197 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S196

S198 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S197

S199 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S198

S200 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S199

S201 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S200

S202 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S201

S203 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S202

S204 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S203

S205 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S204

S206 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S205

S207 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S206

S208 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S207

S209 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S208

S210 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 40)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) ORIGINAL a times divisor = 560

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S209

S211 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) plus ORIGINAL b := sum(560, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) plus ORIGINAL b = 561

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S210

S212 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57, 71, 113, 141, 281, 561)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum = 1268

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S211

S213 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 1268)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 1268

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S212

S214 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:actual positive input for mu=8

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S213

S215 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=8>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S214

S216 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(8, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S215

S217 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(4, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S216

S218 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(2, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S217

S219 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=8;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=3;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S218

S220 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S219

S221 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S220

S222 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S221

S223 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=8

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2];full product=8;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S222

S224 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:input=8;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2];distinct primes=[2]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S223

S225 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor8 := div(240, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor8 = 30

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S224

S226 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8):actual positive input=30;check complete integer range1..30

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S225

S227 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S226

S228 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S227

S229 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S228

S230 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S229

S231 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S230

S232 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S231

S233 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S232

S234 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S233

S235 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S234

S236 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S235

S237 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S236

S238 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S237

S239 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) ORIGINAL a times divisor = 210

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S238

S240 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) plus ORIGINAL b := sum(210, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) plus ORIGINAL b = 211

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S239

S241 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 30)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) ORIGINAL a times divisor = 420

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S240

S242 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) plus ORIGINAL b := sum(420, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) plus ORIGINAL b = 421

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S241

S243 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 71, 85, 141, 211, 421)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) full forward divisor sum = 1016

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S242

S244 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(8) times SAME F(n/8) := mul(0, 1016)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(8) times SAME F(n/8) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S243

S245 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:actual positive input for mu=10

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S244

S246 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=10>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S245

S247 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(10, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S246

S248 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=10;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S247

S249 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S248

S250 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 5)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 10

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S249

S251 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=10

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 5];full product=10;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S250

S252 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:input=10;COMPLETE prime multiset=[2, 5];distinct primes=[2, 5]

操作後

mu=1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S251

S253 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 := div(240, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 = 24

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S252

S254 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10):actual positive input=24;check complete integer range1..24

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S253

S255 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S254

S256 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S255

S257 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S256

S258 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S257

S259 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S258

S260 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S259

S261 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S260

S262 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S261

S263 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S262

S264 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S263

S265 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S264

S266 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S265

S267 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S266

S268 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S267

S269 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 24)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) ORIGINAL a times divisor = 336

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S268

S270 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) plus ORIGINAL b := sum(336, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) plus ORIGINAL b = 337

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S269

S271 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 85, 113, 169, 337)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum = 848

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S270

S272 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) := mul(1, 848)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) = 848

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S271

S273 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:actual positive input for mu=12

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S272

S274 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=12>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S273

S275 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(12, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 6

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S274

S276 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(6, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S275

S277 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=12;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=2;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S276

S278 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S277

S279 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S278

S280 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 12

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S279

S281 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=12

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 3];full product=12;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S280

S282 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:input=12;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3];distinct primes=[2, 3]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S281

S283 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12 := div(240, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12 = 20

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S282

S284 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12):actual positive input=20;check complete integer range1..20

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 5, 10, 20];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S283

S285 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S284

S286 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S285

S287 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S286

S288 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S287

S289 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S288

S290 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S289

S291 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S290

S292 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S291

S293 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S292

S294 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S293

S295 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) ORIGINAL a times divisor = 280

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S294

S296 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) plus ORIGINAL b := sum(280, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) plus ORIGINAL b = 281

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S295

S297 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57, 71, 141, 281)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum = 594

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S296

S298 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12) := mul(0, 594)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S297

S299 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:actual positive input for mu=15

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S298

S300 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=15>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S299

S301 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=0;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S300

S302 · calculation

操作前

upf extract divisor3 occurrence0 := div(15, 3)

操作後

upf extract divisor3 occurrence0 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S301

S303 · implies

操作前

next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[3]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S302

S304 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S303

S305 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(3, 5)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 15

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S304

S306 · implies

操作前

exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=15

操作後

complete increasing prime multiset=[3, 5];full product=15;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S305

S307 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:input=15;COMPLETE prime multiset=[3, 5];distinct primes=[3, 5]

操作後

mu=1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S306

S308 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 := div(240, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 = 16

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S307

S309 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15):actual positive input=16;check complete integer range1..16

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8, 16];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S308

S310 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S309

S311 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S310

S312 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S311

S313 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S312

S314 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S313

S315 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S314

S316 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S315

S317 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S316

S318 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 16)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) ORIGINAL a times divisor = 224

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S317

S319 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) plus ORIGINAL b := sum(224, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) plus ORIGINAL b = 225

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S318

S320 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57, 113, 225)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum = 439

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S319

S321 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) := mul(1, 439)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) = 439

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S320

S322 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor16:actual positive input for mu=16

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S321

S323 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=16>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S322

S324 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(16, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S323

S325 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(8, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S324

S326 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(4, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S325

S327 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence3 := div(2, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence3 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S326

S328 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=16;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=4;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S327

S329 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S328

S330 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S329

S331 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S330

S332 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 2)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 16

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S331

S333 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=16

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 2];full product=16;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S332

S334 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor16:input=16;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 2];distinct primes=[2]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S333

S335 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor16 := div(240, 16)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor16 = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S334

S336 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16):actual positive input=15;check complete integer range1..15

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 5, 15];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S335

S337 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S336

S338 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S337

S339 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S338

S340 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S339

S341 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S340

S342 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S341

S343 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) ORIGINAL a times divisor = 210

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S342

S344 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) plus ORIGINAL b := sum(210, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) plus ORIGINAL b = 211

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S343

S345 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) full forward divisor sum := sum(15, 43, 71, 211)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) full forward divisor sum = 340

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S344

S346 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(16) times SAME F(n/16) := mul(0, 340)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(16) times SAME F(n/16) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S345

S347 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor20:actual positive input for mu=20

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S346

S348 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=20>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S347

S349 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(20, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 10

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S348

S350 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(10, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S349

S351 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=20;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=2;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S350

S352 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S351

S353 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S352

S354 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 5)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 20

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S353

S355 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=20

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 5];full product=20;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S354

S356 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor20:input=20;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 5];distinct primes=[2, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S355

S357 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20 := div(240, 20)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20 = 12

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S356

S358 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20):actual positive input=12;check complete integer range1..12

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S357

S359 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S358

S360 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S359

S361 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S360

S362 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S361

S363 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S362

S364 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S363

S365 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S364

S366 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S365

S367 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S366

S368 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S367

S369 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 12)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) ORIGINAL a times divisor = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S368

S370 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) plus ORIGINAL b := sum(168, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) plus ORIGINAL b = 169

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S369

S371 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 57, 85, 169)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum = 398

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S370

S372 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20) := mul(0, 398)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S371

S373 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor24:actual positive input for mu=24

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S372

S374 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=24>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S373

S375 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(24, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 12

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S374

S376 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(12, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 6

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S375

S377 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(6, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S376

S378 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=24;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=3;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S377

S379 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S378

S380 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S379

S381 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S380

S382 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 3)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 24

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S381

S383 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=24

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 3];full product=24;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S382

S384 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor24:input=24;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 3];distinct primes=[2, 3]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S383

S385 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor24 := div(240, 24)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor24 = 10

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S384

S386 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24):actual positive input=10;check complete integer range1..10

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 5, 10];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S385

S387 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S386

S388 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S387

S389 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S388

S390 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S389

S391 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S390

S392 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S391

S393 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 10)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) ORIGINAL a times divisor = 140

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S392

S394 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) plus ORIGINAL b := sum(140, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) plus ORIGINAL b = 141

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S393

S395 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) full forward divisor sum := sum(15, 29, 71, 141)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) full forward divisor sum = 256

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S394

S396 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(24) times SAME F(n/24) := mul(0, 256)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(24) times SAME F(n/24) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S395

S397 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:actual positive input for mu=30

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S396

S398 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=30>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S397

S399 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(30, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 15

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S398

S400 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=30;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S399

S401 · calculation

操作前

upf extract divisor3 occurrence1 := div(15, 3)

操作後

upf extract divisor3 occurrence1 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S400

S402 · implies

操作前

next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S401

S403 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S402

S404 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 6

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S403

S405 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(6, 5)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 30

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S404

S406 · implies

操作前

exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=30

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 3, 5];full product=30;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S405

S407 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:input=30;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S406

S408 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 := div(240, 30)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S407

S409 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30):actual positive input=8;check complete integer range1..8

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S408

S410 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S409

S411 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S410

S412 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S411

S413 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S412

S414 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S413

S415 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S414

S416 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 8)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) ORIGINAL a times divisor = 112

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S415

S417 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) plus ORIGINAL b := sum(112, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) plus ORIGINAL b = 113

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S416

S418 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57, 113)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum = 214

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S417

S419 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) := mul(-1, 214)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) = -214

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S418

S420 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor40:actual positive input for mu=40

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S419

S421 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=40>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S420

S422 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(40, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 20

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S421

S423 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(20, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 10

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S422

S424 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(10, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S423

S425 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=40;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=3;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S424

S426 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S425

S427 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S426

S428 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S427

S429 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 5)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 40

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S428

S430 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=40

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 5];full product=40;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S429

S431 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor40:input=40;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 5];distinct primes=[2, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S430

S432 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor40 := div(240, 40)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor40 = 6

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S431

S433 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40):actual positive input=6;check complete integer range1..6

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S432

S434 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S433

S435 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S434

S436 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S435

S437 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S436

S438 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S437

S439 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S438

S440 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 6)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) ORIGINAL a times divisor = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S439

S441 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) plus ORIGINAL b := sum(84, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) plus ORIGINAL b = 85

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S440

S442 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) full forward divisor sum := sum(15, 29, 43, 85)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) full forward divisor sum = 172

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S441

S443 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(40) times SAME F(n/40) := mul(0, 172)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(40) times SAME F(n/40) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S442

S444 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor48:actual positive input for mu=48

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S443

S445 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=48>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S444

S446 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(48, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 24

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S445

S447 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(24, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 12

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S446

S448 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(12, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 6

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S447

S449 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence3 := div(6, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence3 = 3

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S448

S450 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=48;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=4;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S449

S451 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S450

S452 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S451

S453 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S452

S454 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 2)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 16

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S453

S455 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor4 := mul(16, 3)

操作後

upf canonical complete product factor4 = 48

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S454

S456 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=48

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 2, 3];full product=48;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S455

S457 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor48:input=48;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 2, 3];distinct primes=[2, 3]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S456

S458 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor48 := div(240, 48)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor48 = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S457

S459 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48):actual positive input=5;check complete integer range1..5

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 5];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S458

S460 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S459

S461 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S460

S462 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 5)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) ORIGINAL a times divisor = 70

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S461

S463 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) plus ORIGINAL b := sum(70, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) plus ORIGINAL b = 71

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S462

S464 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) full forward divisor sum := sum(15, 71)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) full forward divisor sum = 86

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S463

S465 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(48) times SAME F(n/48) := mul(0, 86)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(48) times SAME F(n/48) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S464

S466 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor60:actual positive input for mu=60

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S465

S467 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=60>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S466

S468 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(60, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 30

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S467

S469 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(30, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 15

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S468

S470 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=60;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=2;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S469

S471 · calculation

操作前

upf extract divisor3 occurrence2 := div(15, 3)

操作後

upf extract divisor3 occurrence2 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S470

S472 · implies

操作前

next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2, 3]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S471

S473 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S472

S474 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S473

S475 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 12

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S474

S476 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(12, 5)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 60

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S475

S477 · implies

操作前

exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=60

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 3, 5];full product=60;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S476

S478 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor60:input=60;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S477

S479 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60 := div(240, 60)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60 = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S478

S480 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60):actual positive input=4;check complete integer range1..4

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S479

S481 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S480

S482 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S481

S483 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S482

S484 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S483

S485 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 4)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S484

S486 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S485

S487 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum := sum(15, 29, 57)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum = 101

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S486

S488 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60) := mul(0, 101)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S487

S489 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor80:actual positive input for mu=80

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S488

S490 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=80>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S489

S491 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(80, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 40

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S490

S492 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(40, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 20

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S491

S493 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(20, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 10

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S492

S494 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence3 := div(10, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence3 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S493

S495 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=80;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=4;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S494

S496 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S495

S497 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S496

S498 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S497

S499 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 2)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 16

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S498

S500 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor4 := mul(16, 5)

操作後

upf canonical complete product factor4 = 80

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S499

S501 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=80

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 2, 5];full product=80;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S500

S502 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor80:input=80;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 2, 5];distinct primes=[2, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S501

S503 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor80 := div(240, 80)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor80 = 3

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S502

S504 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80):actual positive input=3;check complete integer range1..3

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S503

S505 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S504

S506 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S505

S507 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 3)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) ORIGINAL a times divisor = 42

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S506

S508 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) plus ORIGINAL b := sum(42, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) plus ORIGINAL b = 43

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S507

S509 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) full forward divisor sum := sum(15, 43)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) full forward divisor sum = 58

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S508

S510 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(80) times SAME F(n/80) := mul(0, 58)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(80) times SAME F(n/80) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S509

S511 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor120:actual positive input for mu=120

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S510

S512 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=120>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S511

S513 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(120, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 60

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S512

S514 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(60, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 30

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S513

S515 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(30, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 15

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S514

S516 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=120;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=3;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S515

S517 · calculation

操作前

upf extract divisor3 occurrence3 := div(15, 3)

操作後

upf extract divisor3 occurrence3 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S516

S518 · implies

操作前

next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2, 2, 3]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S517

S519 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S518

S520 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S519

S521 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S520

S522 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 3)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 24

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S521

S523 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor4 := mul(24, 5)

操作後

upf canonical complete product factor4 = 120

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S522

S524 · implies

操作前

exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=120

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 3, 5];full product=120;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S523

S525 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor120:input=120;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S524

S526 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor120 := div(240, 120)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor120 = 2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S525

S527 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120):actual positive input=2;check complete integer range1..2

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S526

S528 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S527

S529 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S528

S530 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 2)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S529

S531 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S530

S532 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) full forward divisor sum := sum(15, 29)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) full forward divisor sum = 44

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S531

S533 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(120) times SAME F(n/120) := mul(0, 44)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(120) times SAME F(n/120) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S532

S534 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor240:actual positive input for mu=240

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S533

S535 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=240>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S534

S536 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(240, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 120

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S535

S537 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence1 := div(120, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence1 = 60

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S536

S538 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence2 := div(60, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence2 = 30

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S537

S539 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence3 := div(30, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence3 = 15

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S538

S540 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=240;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=4;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2, 2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S539

S541 · calculation

操作前

upf extract divisor3 occurrence4 := div(15, 3)

操作後

upf extract divisor3 occurrence4 = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S540

S542 · implies

操作前

next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2, 2, 2, 3]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S541

S543 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S542

S544 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S543

S545 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2)

操作後

upf canonical complete product factor2 = 8

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S544

S546 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor3 := mul(8, 2)

操作後

upf canonical complete product factor3 = 16

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S545

S547 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor4 := mul(16, 3)

操作後

upf canonical complete product factor4 = 48

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S546

S548 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor5 := mul(48, 5)

操作後

upf canonical complete product factor5 = 240

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S547

S549 · implies

操作前

exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=240

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 2, 3, 5];full product=240;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S548

S550 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor240:input=240;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5]

操作後

mu=0;empty product case=否;repeated prime=是

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S549

S551 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor240 := div(240, 240)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor240 = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S550

S552 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240):actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S551

S553 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) ORIGINAL a times divisor = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S552

S554 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) plus ORIGINAL b := sum(14, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) plus ORIGINAL b = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S553

S555 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) full forward divisor sum := sum(15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) full forward divisor sum = 15

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S554

S556 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(240) times SAME F(n/240) := mul(0, 15)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(240) times SAME F(n/240) = 0

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S555

S557 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum := sum(10436, -5056, -2614, 0, -1746, 1268, 0, 848, 0, 439, 0, 0, 0, -214, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum = 3361

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S556

S558 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n := mul(14, 240)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n = 3360

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S557

S559 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b := sum(3360, 1)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b = 3361

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S558

S560 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual n=240;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 240, 10436, 10436], [2, -1, 120, 5056, -5056], [3, -1, 80, 2614, -2614], [4, 0, 60, 2364, 0], [5, -1, 48, 1746, -1746], [6, 1, 40, 1268, 1268], [8, 0, 30, 1016, 0], [10, 1, 24, 848, 848], [12, 0, 20, 594, 0], [15, 1, 16, 439, 439], [16, 0, 15, 340, 0], [20, 0, 12, 398, 0], [24, 0, 10, 256, 0], [30, -1, 8, 214, -214], [40, 0, 6, 172, 0], [48, 0, 5, 86, 0], [60, 0, 4, 101, 0], [80, 0, 3, 58, 0], [120, 0, 2, 44, 0], [240, 0, 1, 15, 0]]

操作後

complete reconstructed=3361;direct f(n)=3361;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n)

條件：無

有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S559

S561 · calculation

操作前

Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum := sum(-5056, -2614, 0, -1746, 1268, 0, 848, 0, 439, 0, 0, 0, -214, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

操作後

Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum = -7075

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S560

S562 · calculation

操作前

Mobius inversion complete minus partial := sub(3361, -7075)

操作後

Mobius inversion complete minus partial = 10436

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S561

S563 · implies

操作前

ORIGINAL full divisors=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240];actual omitted divisor=1;remaining ORIGINAL-order divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240]

操作後

complete=3361=f(n)=3361;partial=-7075;lost term=10436!=0;incomplete_certificate fixed No

條件：無

必須真漏一個divisor且其貢獻非零，使部分結果與目標不同；漏零項而恰巧相等不給本boundary證書。No拒絕不完整證書，不否認完整反演正確。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_omission_actual_nonzero_discriminative_term · 依賴：G001, S562

逐步反向核對

S563 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S562 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion complete minus partial，不以小數近似替代。
S561 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum，不以小數近似替代。
S560 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S559 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S558 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。
S557 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。
S556 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(240) times SAME F(n/240)，不以小數近似替代。
S555 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S554 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S553 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/240) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S552 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S551 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor240，不以小數近似替代。
S550 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S549 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S548 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor5，不以小數近似替代。
S547 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor4，不以小數近似替代。
S546 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S545 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S544 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S543 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S542 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S541 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence4，不以小數近似替代。
S540 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S539 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence3，不以小數近似替代。
S538 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S537 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S536 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S535 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S534 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S533 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(120) times SAME F(n/120)，不以小數近似替代。
S532 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S531 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S530 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S529 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S528 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/120) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S527 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S526 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor120，不以小數近似替代。
S525 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S524 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S523 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor4，不以小數近似替代。
S522 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S521 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S520 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S519 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S518 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S517 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence3，不以小數近似替代。
S516 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S515 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S514 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S513 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S512 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S511 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S510 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(80) times SAME F(n/80)，不以小數近似替代。
S509 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S508 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S507 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S506 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S505 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/80) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S504 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S503 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor80，不以小數近似替代。
S502 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S501 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S500 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor4，不以小數近似替代。
S499 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S498 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S497 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S496 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S495 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S494 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence3，不以小數近似替代。
S493 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S492 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S491 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S490 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S489 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S488 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60)，不以小數近似替代。
S487 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S486 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S485 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S484 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S483 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S482 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S481 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S480 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S479 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60，不以小數近似替代。
S478 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S477 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S476 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S475 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S474 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S473 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S472 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S471 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence2，不以小數近似替代。
S470 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S469 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S468 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S467 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S466 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S465 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(48) times SAME F(n/48)，不以小數近似替代。
S464 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S463 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S462 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S461 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S460 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/48) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S459 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S458 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor48，不以小數近似替代。
S457 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S456 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S455 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor4，不以小數近似替代。
S454 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S453 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S452 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S451 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S450 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S449 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence3，不以小數近似替代。
S448 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S447 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S446 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S445 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S444 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S443 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(40) times SAME F(n/40)，不以小數近似替代。
S442 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S441 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S440 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S439 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S438 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S437 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S436 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S435 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S434 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/40) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S433 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S432 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor40，不以小數近似替代。
S431 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S430 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S429 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S428 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S427 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S426 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S425 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S424 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S423 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S422 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S421 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S420 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S419 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30)，不以小數近似替代。
S418 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S417 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S416 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S415 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S414 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S413 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S412 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S411 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S410 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S409 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S408 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30，不以小數近似替代。
S407 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S406 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S405 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S404 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S403 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S402 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S401 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。
S400 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S399 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S398 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S397 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S396 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(24) times SAME F(n/24)，不以小數近似替代。
S395 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S394 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S393 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S392 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S391 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S390 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S389 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S388 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S387 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S386 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S385 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor24，不以小數近似替代。
S384 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S383 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S382 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S381 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S380 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S379 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S378 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S377 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S376 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S375 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S374 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S373 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S372 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20)，不以小數近似替代。
S371 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S370 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S369 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S368 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S367 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S366 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S365 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S364 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S363 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S362 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S361 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S360 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S359 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S358 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S357 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20，不以小數近似替代。
S356 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S355 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S354 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S353 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S352 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S351 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S350 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S349 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S348 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S347 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S346 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(16) times SAME F(n/16)，不以小數近似替代。
S345 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S344 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S343 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S342 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S341 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S340 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S339 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S338 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
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S336 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S335 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor16，不以小數近似替代。
S334 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S333 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S332 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。
S331 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S330 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S329 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S328 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S327 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence3，不以小數近似替代。
S326 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S325 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S324 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S323 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S322 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S321 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15)，不以小數近似替代。
S320 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S319 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S318 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S317 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S316 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S315 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S314 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S313 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S312 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S311 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S310 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S309 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S308 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15，不以小數近似替代。
S307 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S306 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S305 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S304 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S303 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S302 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。
S301 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S300 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S299 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S298 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12)，不以小數近似替代。
S297 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S296 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S295 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S294 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S293 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S292 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S291 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S290 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S289 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S288 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S287 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S286 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S285 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S284 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S283 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12，不以小數近似替代。
S282 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S281 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S280 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S279 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S278 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S277 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S276 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S275 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S274 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S273 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S272 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10)，不以小數近似替代。
S271 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S270 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S269 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S268 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S267 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S266 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S265 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S264 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S263 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S262 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S261 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S260 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S259 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S258 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S257 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S256 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S255 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S254 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S253 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10，不以小數近似替代。
S252 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S251 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S250 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S249 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S248 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S247 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S246 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S245 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S244 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(8) times SAME F(n/8)，不以小數近似替代。
S243 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S242 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S241 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S240 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S239 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S238 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S237 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S236 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S235 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S234 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S233 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S232 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S231 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S230 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S229 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S228 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S227 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S226 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S225 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor8，不以小數近似替代。
S224 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S223 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S222 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。
S221 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S220 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S219 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S218 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。
S217 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S216 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S215 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S214 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S213 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。
S212 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S211 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S210 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(40) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S209 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S208 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S207 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S206 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S205 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S204 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S203 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S202 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S201 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S200 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S199 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S198 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S197 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S196 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S194 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。
S193 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S192 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S191 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S190 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S189 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S188 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S187 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S186 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S185 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5)，不以小數近似替代。
S184 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S183 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S182 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(48) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S181 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S179 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S178 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S176 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S175 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S174 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S173 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S172 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S171 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S170 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S169 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S168 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S167 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S166 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S165 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S164 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S162 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5，不以小數近似替代。
S161 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S157 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S156 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。
S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(60) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S146 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
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S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S128 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。
S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。
S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。
S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(80) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(40) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。
S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。
S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(120) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(60) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(40) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。
S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。
S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(240) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(120) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(80) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(48) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(40) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(240, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240], 1, [2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240], 3361, -7075, 3361, 否, all_positive_divisors_and_consistent_d_to_n_over_d_indexing_required)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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