第 24129 題：Euler二次剩餘判準

原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":11,"a":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":11,"a":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步推導

source roles = [eulercrit-domain-qualification]

derived = [[prime, a, normalized_class, odd_prime, nonzero_class, certificate]]

source roles = [11]

derived = [[[2, 1], [3, 2]], 是]

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(0, 11)

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 0

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(4, 0)

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 4

source roles = [4, 11, 0]

derived = [4, 是]

source roles = [11, 4, 4]

derived = [是, 是]

Euler square root candidate1 := mul(1, 1)

Euler square root candidate1 = 1

Euler square root candidate2 := mul(2, 2)

Euler square root candidate2 = 4

Euler square root candidate3 := mul(3, 3)

Euler square root candidate3 = 9

Euler square root candidate4 := mul(4, 4)

Euler square root candidate4 = 16

Euler square root candidate5 := mul(5, 5)

Euler square root candidate5 = 25

Euler square root candidate6 := mul(6, 6)

Euler square root candidate6 = 36

Euler square root candidate7 := mul(7, 7)

Euler square root candidate7 = 49

Euler square root candidate8 := mul(8, 8)

Euler square root candidate8 = 64

Euler square root candidate9 := mul(9, 9)

Euler square root candidate9 = 81

Euler square root candidate10 := mul(10, 10)

Euler square root candidate10 = 100

source roles = [11, 4]

derived = [[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 5], [5, 3], [6, 3], [7, 5], [8, 9], [9, 4], [10, 1]], [2, 9], 1]

Euler binary power accumulate0 := mul(1, 4)

Euler binary power accumulate0 = 4

Euler binary power square0 := mul(4, 4)

Euler binary power square0 = 16

source roles = [0, [1, 4, 5], 11, 4, 5]

derived = [4, 16, 4, 5, 2]

Euler binary power square1 := mul(5, 5)

Euler binary power square1 = 25

source roles = [1, [4, 5, 2], 11, 4, 5]

derived = [null, 25, 4, 3, 1]

Euler binary power accumulate2 := mul(4, 3)

Euler binary power accumulate2 = 12

Euler binary power square2 := mul(3, 3)

Euler binary power square2 = 9

source roles = [2, [4, 3, 1], 11, 4, 5]

derived = [12, 9, 1, 9, 0]

source roles = [11, [2, 9], 1, 1]

derived = [1, 是, one finite instance is not a general theorem proof]

逐步反向核對

• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square2，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate2，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square0，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate10，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate9，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate8，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate7，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate6，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate3，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(11, 4, 4, 是, 是, odd_prime_and_nonzero_modular_class_qualified)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。