第 188 題：級數比值判別法

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

P250-0188 · q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0013

原題與已知條件

eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-nonconstant-convergent；資料={"scale":13,"ratio":[3,9],"shift":13,"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-nonconstant-convergent；資料={"scale":13,"ratio":[3,9],"shift":13,"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

A>0、0<r<1、s≥1 且 n≥0；明示的誤差界、歸納與幾何界支持整個尾端。

mko-ratio-test-series

逐步推導

S001 · implies

操作前

a_n=13*(1/3)^n/(n+13)

操作後

|a_n|=13·(1/3)^n/(n+13)>0 for every integer n≥0

條件：n≥0; A=13>0; 0<r=1/3<1; s=13≥1

整個有理數底數都被 n 次方；若有交錯符號，其絕對值為 1。

步驟識別與依賴

規則：absolute_value · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

|a_n|=13·(1/3)^n/(n+13)

操作後

|a_(n+1)|=13·(1/3)^(n+1)/(n+14)

條件：無

每個出現 n 的位置都加 1，包括分母的平移。

步驟識別與依賴

規則：index_shift · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

|a_(n+1)| / |a_n|

操作後

abs_ratio=1/3*(n+13)/(n+14)

條件：無

把除法改乘倒數，約去 A 與 r^n；前一步已證所約掉的量皆非零。

步驟識別與依賴

規則：positive_factor_cancellation · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

abs_ratio=1/3*(n+13)/(n+14)

操作後

R_n=1/3−(1/3)/(n+14); |R_n−r|=(1/3)/(n+14)

條件：無

將分子寫成分母減 1，就把極限問題化成明確的正誤差。

步驟識別與依賴

規則：rational_error_identity · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

epsilon>0; N=floor(r/epsilon)+1

操作後

n≥N ⇒ n+14>r/epsilon ⇒ |R_n−r|<epsilon

條件：epsilon>0

由實數 Archimedean 性，這個整數 N 存在；正數取倒數反向，所以控制的是全部尾端而非有限樣本。

步驟識別與依賴

規則：archimedean_tail · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

q−r := sub(2/3, 1/3)

操作後

q−r = 1/3

條件：無

取 q=(r+1)/2；先核對 q 嚴格大於 r。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

1−q := sub(1, 2/3)

操作後

1−q = 1/3

條件：無

再核對 q 嚴格小於 1。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

|a_0| := div(13, 13)

操作後

|a_0| = 1

條件：無

n=0 時底數的零次方為 1，因此求出幾何控制的起始常數。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

0<R_n<r=1/3<q=2/3<1

操作後

|a_n|≤(1)·(2/3)^n for every n≥0

條件：無

n=0 時為等號；若第 n 項受控，乘上 R_n<q 即控制第 n+1 項。由歸納法取得全部 n 的界。

步驟識別與依賴

規則：inductive_geometric_domination · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

sum from k=0 to M of |a_k| ≤ (1)·(1−(2/3)^(M+1))/(1−(2/3))

操作後

all absolute partial sums ≤ 3

條件：無

因 0<q<1，有限幾何和有此上界；絕對值部分和又單調遞增，依實數完備性收斂。

步驟識別與依賴

規則：finite_geometric_sum · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

M>N≥0

操作後

sum from k=N+1 to M of |a_k| ≤ (1)·(2/3)^(N+1)/(1−(2/3)) → 0

條件：無

同一幾何界還給出任意兩個尾端部分和之差的上界，說明為什麼整個級數絕對收斂。

步驟識別與依賴

規則：tail_bound · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

S011 · premise_and_result_audit — 結論對有無交錯符號均成立，但不求本題未要求的級數精確和。
S010 · premise_and_result_audit — 這裡使用單調有界收斂與幾何和作為明示前提，不宣稱 Lean 已證。
S009 · premise_and_result_audit — 此為明示的歸納推論，不把檢查若干比值當成無限尾端證明。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 |a_0|，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 1−q，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 q−r，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — N 只依 epsilon 與固定參數，不依之後選的 n。
S004 · premise_and_result_audit — 趨零的是誤差，不是分母；分母隨 n 增大。
S003 · premise_and_result_audit — 保留絕對比值；不是用可能為負的有號相鄰比。
S002 · premise_and_result_audit — 不可只改指數而保留原分母。
S001 · premise_and_result_audit — 正的 A、r 與 n+s 保證後面每次比值的分母都不為零。

結論

(13, 1/3, 13, 否, a_n=13*(1/3)^n/(n+13), abs_ratio=1/3*(n+13)/(n+14), limit=1/3, 2/3, 是, eventual_geometric_domination, absolutely_convergent)

此級數絕對收斂，且已給出共同尾端的幾何控制。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 6a36d6b2350c5870faf7f716261de056cacb1e4b0245853dd75a0af0f99660e2
candidate record SHA-256: 4a4595fb69481624d67fffa1b007c33bda6ab4b458a02fdffcc1277c126247c0
semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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