第 725 題：級數比值判別法

原題與已知條件

eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-geometric-divergent；資料={"scale":25,"ratio":[10,7],"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-geometric-divergent；資料={"scale":25,"ratio":[10,7],"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

A>0、|r|>1 的幾何項；|a_n|≥A，項不趨於 0，故級數發散。

• mko-ratio-test-series

逐步推導

A=25>0; r=10/7>1; alternating=否

|a_n|=25·(10/7)^n

|a_(n+1)|/|a_n|=(25·(10/7)^(n+1))/(25·(10/7)^n)

absolute ratio=10/7

r=10/7>1

|a_n|≥A=25>0 for every n≥0

convergent series ⇒ its terms tend to0

these terms do not tend to0 ⇒ series diverges

逐步反向核對

• S004 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
• S003 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
• S001 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。

結論

(25, 10/7, 否, 10/7, terms_do_not_tend_to_zero, divergent)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。