第 27928 題：Lagrange乘子條件

原題與已知條件

feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[3,6],"objective_gradient":[3,6]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[3,6],"objective_gradient":[3,6]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-lagrange-multiplier-condition

逐步推導

source roles = [lagrange-multiplier-residual]

derived = [[objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention]]

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 := div(1, 1)

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 = 1

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 := div(0, 1)

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 = 0

source roles = [Lagrange ORIGINAL, 0, 0, 0, [[1, 0], [0, 1]], 1]

derived = [[[1, 0], [0, 1]]]

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 := div(0, 1)

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 = 0

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 := div(1, 1)

Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 = 1

source roles = [Lagrange ORIGINAL, 1, 1, 1, [[1, 0], [0, 1]], 1]

derived = [[[1, 0], [0, 1]]]

source roles = [Lagrange ORIGINAL, [[1, 0], [0, 1]]]

derived = [[[1, 0], [0, 1]], [[0, 0], [1, 1]], 2]

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0 := mul(1, 3)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0 = 3

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0 := sum(0, 3)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0 = 3

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1 := mul(0, 6)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1 = 0

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1 := sum(3, 0)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1 = 3

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0 := mul(0, 3)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0 = 0

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0 := sum(0, 0)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0 = 0

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1 := mul(1, 6)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1 = 6

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1 := sum(0, 6)

Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1 = 6

Lagrange ORIGINAL residual coordinate0 := sub(3, 3)

Lagrange ORIGINAL residual coordinate0 = 0

Lagrange ORIGINAL residual coordinate1 := sub(6, 6)

Lagrange ORIGINAL residual coordinate1 = 0

source roles = [[3, 6], [[1, 0], [0, 1]], [3, 6]]

derived = [[3, 6], [0, 0], 是]

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL residual coordinate1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL residual coordinate0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。

結論

([3, 6], [[1, 0], [0, 1]], [3, 6], [3, 6], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。