等式約束Lagrange乘數必要條件基礎 · 脈衝 R04
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batch-20261015-advance-20261119-r04-lagrange-multiplier-condition-foundations · 2026-10-15 · 100 題
欄序為來源綁定的呈現補充；原始 JSONL 與數學答案不變。
欄序與來源綁定資料
1. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
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([[1, 0], [0, 1]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 1]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
2. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,2]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
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([[1, 0], [0, 2]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 2]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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3. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,3]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
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([[1, 0], [0, 3]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 3]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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4. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,4]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
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([[1, 0], [0, 4]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 4]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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5. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,5]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 5]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 5]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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6. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,6]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 6]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 6]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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7. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,7]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
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([[1, 0], [0, 7]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 7]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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8. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,8]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 8]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 8]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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9. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,9]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 9]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 9]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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10. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,10]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 10]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 10]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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11. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,11]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 11]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 11]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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12. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,12]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 12]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 12]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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13. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,13]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 13]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 13]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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14. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,14]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 14]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 14]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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15. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,15]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 15]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 15]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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16. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,16]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 16]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 16]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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17. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,17]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 17]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 17]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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18. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,18]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 18]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 18]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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19. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,19]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 19]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 19]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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20. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,20]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 20]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 20]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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21. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,21]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 21]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 21]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
22. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,22]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 22]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 22]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
23. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,23]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 23]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 23]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
24. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,24]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 24]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 24]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
25. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,25]]}；請依 [constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition] 回答。
查看答案與解釋
([[1, 0], [0, 25]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)
Wave6第十三層核對=([[1, 0], [0, 25]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-regularity-audit · candidate
26. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[1,2],"objective_gradient":[1,2]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([1, 2], [[1, 0], [0, 1]], [1, 2], [1, 2], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([1, 2], [[1, 0], [0, 1]], [1, 2], [1, 2], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
27. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[2,4],"objective_gradient":[2,4]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([2, 4], [[1, 0], [0, 1]], [2, 4], [2, 4], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([2, 4], [[1, 0], [0, 1]], [2, 4], [2, 4], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
28. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[3,6],"objective_gradient":[3,6]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([3, 6], [[1, 0], [0, 1]], [3, 6], [3, 6], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([3, 6], [[1, 0], [0, 1]], [3, 6], [3, 6], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
29. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[4,8],"objective_gradient":[4,8]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([4, 8], [[1, 0], [0, 1]], [4, 8], [4, 8], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([4, 8], [[1, 0], [0, 1]], [4, 8], [4, 8], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
30. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[5,10],"objective_gradient":[5,10]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([5, 10], [[1, 0], [0, 1]], [5, 10], [5, 10], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([5, 10], [[1, 0], [0, 1]], [5, 10], [5, 10], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
31. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[6,12],"objective_gradient":[6,12]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([6, 12], [[1, 0], [0, 1]], [6, 12], [6, 12], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([6, 12], [[1, 0], [0, 1]], [6, 12], [6, 12], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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32. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[7,14],"objective_gradient":[7,14]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([7, 14], [[1, 0], [0, 1]], [7, 14], [7, 14], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([7, 14], [[1, 0], [0, 1]], [7, 14], [7, 14], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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33. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[8,16],"objective_gradient":[8,16]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([8, 16], [[1, 0], [0, 1]], [8, 16], [8, 16], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([8, 16], [[1, 0], [0, 1]], [8, 16], [8, 16], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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34. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[9,18],"objective_gradient":[9,18]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([9, 18], [[1, 0], [0, 1]], [9, 18], [9, 18], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([9, 18], [[1, 0], [0, 1]], [9, 18], [9, 18], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
35. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[10,20],"objective_gradient":[10,20]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([10, 20], [[1, 0], [0, 1]], [10, 20], [10, 20], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([10, 20], [[1, 0], [0, 1]], [10, 20], [10, 20], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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36. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[11,22],"objective_gradient":[11,22]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([11, 22], [[1, 0], [0, 1]], [11, 22], [11, 22], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([11, 22], [[1, 0], [0, 1]], [11, 22], [11, 22], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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37. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[12,24],"objective_gradient":[12,24]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([12, 24], [[1, 0], [0, 1]], [12, 24], [12, 24], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([12, 24], [[1, 0], [0, 1]], [12, 24], [12, 24], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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38. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[13,26],"objective_gradient":[13,26]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([13, 26], [[1, 0], [0, 1]], [13, 26], [13, 26], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([13, 26], [[1, 0], [0, 1]], [13, 26], [13, 26], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
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39. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[14,28],"objective_gradient":[14,28]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([14, 28], [[1, 0], [0, 1]], [14, 28], [14, 28], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([14, 28], [[1, 0], [0, 1]], [14, 28], [14, 28], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
40. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[15,30],"objective_gradient":[15,30]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([15, 30], [[1, 0], [0, 1]], [15, 30], [15, 30], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([15, 30], [[1, 0], [0, 1]], [15, 30], [15, 30], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
41. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[16,32],"objective_gradient":[16,32]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([16, 32], [[1, 0], [0, 1]], [16, 32], [16, 32], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([16, 32], [[1, 0], [0, 1]], [16, 32], [16, 32], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
42. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[17,34],"objective_gradient":[17,34]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([17, 34], [[1, 0], [0, 1]], [17, 34], [17, 34], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([17, 34], [[1, 0], [0, 1]], [17, 34], [17, 34], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
43. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[18,36],"objective_gradient":[18,36]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([18, 36], [[1, 0], [0, 1]], [18, 36], [18, 36], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([18, 36], [[1, 0], [0, 1]], [18, 36], [18, 36], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
44. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[19,38],"objective_gradient":[19,38]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([19, 38], [[1, 0], [0, 1]], [19, 38], [19, 38], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([19, 38], [[1, 0], [0, 1]], [19, 38], [19, 38], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
45. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[20,40],"objective_gradient":[20,40]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([20, 40], [[1, 0], [0, 1]], [20, 40], [20, 40], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([20, 40], [[1, 0], [0, 1]], [20, 40], [20, 40], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
46. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[21,42],"objective_gradient":[21,42]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([21, 42], [[1, 0], [0, 1]], [21, 42], [21, 42], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([21, 42], [[1, 0], [0, 1]], [21, 42], [21, 42], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
47. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[22,44],"objective_gradient":[22,44]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
查看答案與解釋
([22, 44], [[1, 0], [0, 1]], [22, 44], [22, 44], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([22, 44], [[1, 0], [0, 1]], [22, 44], [22, 44], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
48. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[23,46],"objective_gradient":[23,46]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([23, 46], [[1, 0], [0, 1]], [23, 46], [23, 46], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([23, 46], [[1, 0], [0, 1]], [23, 46], [23, 46], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
49. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[24,48],"objective_gradient":[24,48]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([24, 48], [[1, 0], [0, 1]], [24, 48], [24, 48], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([24, 48], [[1, 0], [0, 1]], [24, 48], [24, 48], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
50. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[25,50],"objective_gradient":[25,50]}；請依 [objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention] 回答。
這題只核明示vectors的rank與grad_f=J_g^T lambda代數殘差；沒有函數或point資料可獨立認證feasibility、可微性或local extremum。不能把equation_holds當成完整極值證書。
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([25, 50], [[1, 0], [0, 1]], [25, 50], [25, 50], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)
Wave6第十三層核對=([25, 50], [[1, 0], [0, 1]], [25, 50], [25, 50], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-multiplier-residual · candidate
51. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[0,0],"constraint_gradient":[1,1],"constraint_rhs":3}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([0, 0], [1, 1], 3, 3/2, [3/2, 3/2], 3, [3, 3], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([0, 0], [1, 1], 3, 3/2, [3/2, 3/2], 3, [3, 3], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
52. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[1,1],"constraint_gradient":[1,2],"constraint_rhs":4}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([1, 1], [1, 2], 4, 1/5, [6/5, 7/5], 2/5, [2/5, 4/5], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([1, 1], [1, 2], 4, 1/5, [6/5, 7/5], 2/5, [2/5, 4/5], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
53. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[2,2],"constraint_gradient":[1,3],"constraint_rhs":5}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([2, 2], [1, 3], 5, -3/10, [17/10, 11/10], -3/5, [-3/5, -9/5], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([2, 2], [1, 3], 5, -3/10, [17/10, 11/10], -3/5, [-3/5, -9/5], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
54. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[3,3],"constraint_gradient":[1,4],"constraint_rhs":6}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([3, 3], [1, 4], 6, -9/17, [42/17, 15/17], -18/17, [-18/17, -72/17], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([3, 3], [1, 4], 6, -9/17, [42/17, 15/17], -18/17, [-18/17, -72/17], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
55. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,4],"constraint_gradient":[1,5],"constraint_rhs":7}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([4, 4], [1, 5], 7, -17/26, [87/26, 19/26], -17/13, [-17/13, -85/13], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([4, 4], [1, 5], 7, -17/26, [87/26, 19/26], -17/13, [-17/13, -85/13], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
56. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[0,5],"constraint_gradient":[1,6],"constraint_rhs":8}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([0, 5], [1, 6], 8, -22/37, [-22/37, 53/37], -44/37, [-44/37, -264/37], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([0, 5], [1, 6], 8, -22/37, [-22/37, 53/37], -44/37, [-44/37, -264/37], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
57. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[1,6],"constraint_gradient":[1,7],"constraint_rhs":9}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([1, 6], [1, 7], 9, -17/25, [8/25, 31/25], -34/25, [-34/25, -238/25], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([1, 6], [1, 7], 9, -17/25, [8/25, 31/25], -34/25, [-34/25, -238/25], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
58. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[2,0],"constraint_gradient":[1,8],"constraint_rhs":10}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([2, 0], [1, 8], 10, 8/65, [138/65, 64/65], 16/65, [16/65, 128/65], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([2, 0], [1, 8], 10, 8/65, [138/65, 64/65], 16/65, [16/65, 128/65], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
59. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[3,1],"constraint_gradient":[1,9],"constraint_rhs":11}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([3, 1], [1, 9], 11, -1/82, [245/82, 73/82], -1/41, [-1/41, -9/41], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([3, 1], [1, 9], 11, -1/82, [245/82, 73/82], -1/41, [-1/41, -9/41], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
60. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,2],"constraint_gradient":[1,10],"constraint_rhs":12}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([4, 2], [1, 10], 12, -12/101, [392/101, 82/101], -24/101, [-24/101, -240/101], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([4, 2], [1, 10], 12, -12/101, [392/101, 82/101], -24/101, [-24/101, -240/101], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
61. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[0,3],"constraint_gradient":[1,11],"constraint_rhs":13}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([0, 3], [1, 11], 13, -10/61, [-10/61, 73/61], -20/61, [-20/61, -220/61], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([0, 3], [1, 11], 13, -10/61, [-10/61, 73/61], -20/61, [-20/61, -220/61], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
62. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[1,4],"constraint_gradient":[1,12],"constraint_rhs":14}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([1, 4], [1, 12], 14, -7/29, [22/29, 32/29], -14/29, [-14/29, -168/29], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([1, 4], [1, 12], 14, -7/29, [22/29, 32/29], -14/29, [-14/29, -168/29], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
63. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[2,5],"constraint_gradient":[1,13],"constraint_rhs":15}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([2, 5], [1, 13], 15, -26/85, [144/85, 87/85], -52/85, [-52/85, -676/85], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([2, 5], [1, 13], 15, -26/85, [144/85, 87/85], -52/85, [-52/85, -676/85], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
64. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[3,6],"constraint_gradient":[1,14],"constraint_rhs":16}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([3, 6], [1, 14], 16, -71/197, [520/197, 188/197], -142/197, [-142/197, -1988/197], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([3, 6], [1, 14], 16, -71/197, [520/197, 188/197], -142/197, [-142/197, -1988/197], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
65. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,0],"constraint_gradient":[1,15],"constraint_rhs":17}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([4, 0], [1, 15], 17, 13/226, [917/226, 195/226], 13/113, [13/113, 195/113], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([4, 0], [1, 15], 17, 13/226, [917/226, 195/226], 13/113, [13/113, 195/113], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
66. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[0,1],"constraint_gradient":[1,16],"constraint_rhs":18}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([0, 1], [1, 16], 18, 2/257, [2/257, 289/257], 4/257, [4/257, 64/257], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([0, 1], [1, 16], 18, 2/257, [2/257, 289/257], 4/257, [4/257, 64/257], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
67. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[1,2],"constraint_gradient":[1,17],"constraint_rhs":19}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
查看答案與解釋
([1, 2], [1, 17], 19, -8/145, [137/145, 154/145], -16/145, [-16/145, -272/145], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([1, 2], [1, 17], 19, -8/145, [137/145, 154/145], -16/145, [-16/145, -272/145], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
68. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[2,3],"constraint_gradient":[1,18],"constraint_rhs":20}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([2, 3], [1, 18], 20, -36/325, [614/325, 327/325], -72/325, [-72/325, -1296/325], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([2, 3], [1, 18], 20, -36/325, [614/325, 327/325], -72/325, [-72/325, -1296/325], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
69. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[3,4],"constraint_gradient":[1,19],"constraint_rhs":21}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([3, 4], [1, 19], 21, -29/181, [514/181, 173/181], -58/181, [-58/181, -1102/181], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([3, 4], [1, 19], 21, -29/181, [514/181, 173/181], -58/181, [-58/181, -1102/181], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
70. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,5],"constraint_gradient":[1,20],"constraint_rhs":22}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([4, 5], [1, 20], 22, -82/401, [1522/401, 365/401], -164/401, [-164/401, -3280/401], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([4, 5], [1, 20], 22, -82/401, [1522/401, 365/401], -164/401, [-164/401, -3280/401], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
71. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[0,6],"constraint_gradient":[1,21],"constraint_rhs":23}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([0, 6], [1, 21], 23, -103/442, [-103/442, 489/442], -103/221, [-103/221, -2163/221], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([0, 6], [1, 21], 23, -103/442, [-103/442, 489/442], -103/221, [-103/221, -2163/221], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
72. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[1,0],"constraint_gradient":[1,22],"constraint_rhs":24}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([1, 0], [1, 22], 24, 23/485, [508/485, 506/485], 46/485, [46/485, 1012/485], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([1, 0], [1, 22], 24, 23/485, [508/485, 506/485], 46/485, [46/485, 1012/485], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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73. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[2,1],"constraint_gradient":[1,23],"constraint_rhs":25}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([2, 1], [1, 23], 25, 0, [2, 1], 0, [0, 0], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([2, 1], [1, 23], 25, 0, [2, 1], 0, [0, 0], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
74. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[3,2],"constraint_gradient":[1,24],"constraint_rhs":26}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([3, 2], [1, 24], 26, -25/577, [1706/577, 554/577], -50/577, [-50/577, -1200/577], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([3, 2], [1, 24], 26, -25/577, [1706/577, 554/577], -50/577, [-50/577, -1200/577], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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75. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,3],"constraint_gradient":[1,25],"constraint_rhs":27}；請依 [center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope] 回答。
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([4, 3], [1, 25], 27, -26/313, [1226/313, 289/313], -52/313, [-52/313, -1300/313], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)
Wave6第十三層核對=([4, 3], [1, 25], 27, -26/313, [1226/313, 289/313], -52/313, [-52/313, -1300/313], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-single-linear-constraint · candidate
76. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,1],[2,2]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 1], [2, 2]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 1], [2, 2]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
77. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":2}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-2*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-2*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
78. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,3],"constraint_rhs":2,"point":[3,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(infeasible_point, [1, 3], 2, [3, 0], 3, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 3], 2, [3, 0], 3, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
79. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"kkt_confusion","model":{"constraint_kind":"inequality"}}；請依 [mode, constraint_kind, equality_theorem_supplies_KKT_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(kkt_confusion, inequality, 否, equality_only_Lagrange_condition_does_not_supply_KKT_sign_or_complementarity_conditions)
Wave6第十三層核對=(kkt_confusion, inequality, 否, equality_only_Lagrange_condition_does_not_supply_KKT_sign_or_complementarity_conditions)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
80. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,5],[2,10]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 5], [2, 10]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 5], [2, 10]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
81. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":6}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-6*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-6*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
82. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,7],"constraint_rhs":6,"point":[7,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(infeasible_point, [1, 7], 6, [7, 0], 7, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 7], 6, [7, 0], 7, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
83. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,8],[2,16]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 8], [2, 16]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 8], [2, 16]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
84. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,9],[2,18]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 9], [2, 18]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 9], [2, 18]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
85. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":10}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-10*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-10*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
86. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,11],"constraint_rhs":10,"point":[11,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(infeasible_point, [1, 11], 10, [11, 0], 11, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 11], 10, [11, 0], 11, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
87. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,12],[2,24]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 12], [2, 24]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 12], [2, 24]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
88. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,13],[2,26]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(rank_deficient, [[1, 13], [2, 26]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 13], [2, 26]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
89. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":14}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-14*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-14*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
90. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,15],"constraint_rhs":14,"point":[15,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(infeasible_point, [1, 15], 14, [15, 0], 15, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 15], 14, [15, 0], 15, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
91. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,16],[2,32]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 16], [2, 32]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 16], [2, 32]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
92. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,17],[2,34]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 17], [2, 34]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 17], [2, 34]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
93. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":18}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-18*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-18*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
94. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,19],"constraint_rhs":18,"point":[19,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(infeasible_point, [1, 19], 18, [19, 0], 19, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 19], 18, [19, 0], 19, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
95. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,20],[2,40]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 20], [2, 40]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 20], [2, 40]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
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等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
96. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,21],[2,42]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 21], [2, 42]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 21], [2, 42]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
97. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"stationary_not_sufficient","model":{"scale":22}}；請依 [mode, objective_description, constraint_description, point, stationarity_statement, stationary, actual_point_status, minimum_claim, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-22*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)
Wave6第十三層核對=(stationary_not_sufficient, f(x,y)=-22*x^2, g(x,y)=y=0, [0,0], grad_f=[0,0]=0*grad_g, 是, strict_local_maximum_on_constraint, 否, first_order_multiplier_equation_is_necessary_not_sufficient_for_a_minimum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
98. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,23],"constraint_rhs":22,"point":[23,0]}}；請依 [mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
查看答案與解釋
(infeasible_point, [1, 23], 22, [23, 0], 23, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)
Wave6第十三層核對=(infeasible_point, [1, 23], 22, [23, 0], 23, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
99. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,24],[2,48]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 24], [2, 48]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 24], [2, 48]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
100. Lagrange乘子條件
feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,25],[2,50]]}}；請依 [mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope] 回答。
四種mode為6/9/7/4欄。rank deficient只是不適用regular theorem，不表示無極值。必要stationarity不充分、也不補feasibility或inequality KKT。
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(rank_deficient, [[1, 25], [2, 50]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)
Wave6第十三層核對=(rank_deficient, [[1, 25], [2, 50]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)；依完整明示資料精確重算；regular equality-constrained local extremum只得到必要multiplier condition；stationarity非充分；rank deficient是不適用而非無極值，且本條件不是inequality KKT、global或uniqueness證書。
本題逐步詳解（AI 二次覆核）
等式約束Lagrange乘數必要條件 · qf-mod50-lagrange-boundary · candidate
原始題目 JSONL · 驗收報告