第 27911 題：Lagrange乘子條件

原題與已知條件

feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,11],"constraint_rhs":10,"point":[11,0]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"infeasible_point","model":{"constraint_gradient":[1,11],"constraint_rhs":10,"point":[11,0]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-lagrange-multiplier-condition

逐步推導

source roles = [lagrange-boundary]

derived = [[mode, constraint_gradient, constraint_rhs, point, constraint_value, feasible, boundary]]

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product0 := mul(1, 11)

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product0 = 11

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum0 := sum(0, 11)

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum0 = 11

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product1 := mul(11, 0)

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product1 = 0

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum1 := sum(11, 0)

Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum1 = 11

source roles = [[1, 11], 10, [11, 0]]

derived = [11, 否]

逐步反向核對

• S006 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL constraint value ORIGINAL product0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。

結論

(infeasible_point, [1, 11], 10, [11, 0], 11, 否, stationarity_never_repairs_missing_feasibility)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。