第 27909 題：Lagrange乘子條件

原題與已知條件

feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,9],[2,18]]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-boundary；明示資料={"mode":"rank_deficient","model":{"constraint_gradients":[[1,9],[2,18]]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-lagrange-multiplier-condition

逐步推導

source roles = [lagrange-boundary]

derived = [[mode, constraint_gradient_rows, rank, constraint_count, regular_theorem_applicable, scope]]

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 := div(1, 1)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 = 1

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 := div(9, 1)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 = 9

source roles = [Lagrange boundary ORIGINAL, 0, 0, 0, [[1, 9], [2, 18]], 1]

derived = [[[1, 9], [2, 18]]]

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 factor := mul(2, 1)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 factor = 2

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 subtract := sub(2, 2)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 subtract = 0

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 factor := mul(2, 9)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 factor = 18

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 subtract := sub(18, 18)

Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 subtract = 0

source roles = [Lagrange boundary ORIGINAL, 0, 0, 1, 2, [2, 18]]

derived = [[[1, 9], [0, 0]]]

source roles = [Lagrange boundary ORIGINAL, 1, 1, [[1, 9], [0, 0]]]

derived = [null]

source roles = [Lagrange boundary ORIGINAL, [[1, 9], [2, 18]]]

derived = [[[1, 9], [0, 0]], [[0, 0]], 1]

source roles = [[[1, 9], [2, 18]], 1, 2]

derived = [否]

逐步反向核對

• S012 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 subtract，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col1 factor，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 subtract，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL elimination row1 col0 factor，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange boundary ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。

結論

(rank_deficient, [[1, 9], [2, 18]], 1, 2, 否, regular_Lagrange_theorem_not_applicable_does_not_mean_no_extremum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。