有限值IID的強律資格與固定n界線

目標與範圍

對齊named SLLN前提，並明示prefix不是a.s.證明。

無限IID為前提；有限值SLLN為named theorem。

已知條件與符號

• work

• G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。

• bar X_n — 樣本平均
• μ — 共同邊際mean

規則與來源

• mko_definition · cited — 以明示infinite IID process certificate及normalized finite marginal law定義mu。SLLN結論為P(lim_{n→∞} n^{-1}sum_{i=1}^n X_i=mu)=1。exact families重算marginal mean、固定prefix的sample mean與固定n deviation event probability，但明示這些都不是a.s. convergence證書。non-IID與nonfinite-support只是本節scoped theorem不適用；finite prefix不證極限，wrong target不等於共同mean。 · mko-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid
• work · prerequisite — 明示named theorem前提：給定機率空間上的無限IID有限值序列，其樣本平均a.s.收斂到共同mean；另假設binomial law及機率測度向下連續性。

逐步主鏈

\{0,1\},\quad p=(1/2,1/2)

p_0,p_1\ge0,\quad p_0+p_1=1

\mu=0(1/2)+1(1/2)

\mu=1/2,\quad |X_i|\le1\text{ a.s.}

x_1,x_2,x_3,x_4=(1,0,1,1)

\bar x_4=3/4

S_4\sim\operatorname{Binomial}(4,1/2)

P(S_4=k)=(1,4,6,4,1)_k/16\quad(k=0,1,2,3,4)

|S_4/4-1/2|\ge1/4

S_4\in\{0,1,3,4\},\quad P=10/16=5/8

\text{infinite IID common finite law}

P\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i=1/2\right)=1\quad\text{(named SLLN)}

P(\lim_n\bar X_n=1/2)=1

\bar X_n\to1/2\quad\text{almost surely}

X_i\equiv c\text{ a.s.}\quad\text{(boundary)}

\bar X_n=c\text{ a.s. for every }n

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — nonfinite support僅超出本slice，不表示一般強律一定失敗。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 全1事件E=交_{m≥1}{X1至Xm全為1}可測；有限prefix事件機率2^(-m)，由向下連續性得P(E)=lim 2^(-m)=0，不要求sample points本身是paths或singleton。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 5/8不是這個極限事件機率；極限來自named theorem。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — k=2不在事件，k=1、3在事件。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 五格點沒有省略任何樣本和。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — prefix值不同於共同mean1/2，沒有矛盾。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — boundedness綁所有i的共同law。
• S01 · premise_audit · G1, work — 這不單獨建立無限joint process。

錯誤控制與反例

過程與邊際

有限law驗證與無限IID前提分別保留。

事件層次

固定n偏差5/8與lim事件機率1不可互換。

• prefix平均3/4否定強律。 → reject — 極限不要求有限n等於mean。
• 強律必須σ²>0。 → reject — 常數IID序列也滿足此有限值強律。
• nonfinite support必違反所有SLLN。 → reject — 只是不屬本slice，其他強律有不同前提。

結論與限制

依named SLLN，平均a.s.趨1/2；固定n=4偏差機率5/8不證也不反證此極限。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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