解析普通生成函數

數學敘述

coefficient extraction [x^n]A=a_n是編碼責任。有限partial sum只使用明示prefix。對a_n=r^n，A(x)=1/(1-rx)僅在|rx|<1成立。對a_n=a_{n-1}+a_{n-2}且初值a_0,a_1明示，A(x)=(a_0+(a_1-a_0)x)/(1-x-x^2)，boundary terms不可遺漏。formal power-series identity不自動是analytic equality；不得在radius外代值，有限coefficient prefix不決定完整OGF或radius，名稱中的analytic也不授權未證的逐項微分。

代表公式（精確 TeX）

A(x)=G(a,x)

成立條件

• exact families使用有理coefficients與有理evaluation point，並明示足以保證收斂的domain。
• recurrence family固定二階Fibonacci型homogeneous recurrence及兩個初值。

符號作用域

• A — 解析普通生成函數
• x — 變數
• G — 普通生成函數算子
• a — 係數數列

直觀、定義與常見誤解

sequence與coefficient extraction一一對位。

geometric closed form必須附收斂域。

recurrence乘上x^n求和時初值產生明示boundary terms。

把formal identity在任意x直接當數值等式，或由有限prefix斷言完整生成函數。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 遞迴關係 — recurrence-to-OGF。
• 冪級數收斂半徑 — analytic domain。
• 數列 — coefficient data。

驗證界線

本節點限ordinary且analytic的明示slice；不自動涵蓋exponential generating functions或formal-only algebra。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入生成函數運算與漸近係數分析。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。