多項式原函數與常數選擇

數學敘述

F是f在區間上的原函數，指F在該區間可微且F'=f。本輪全R多項式f(x)=Σa_k*x^k有代表F0(x)=Σa_k*x^(k+1)/(k+1)，常數項固定0；F0+C仍為原函數。本輪多項式原函數的導數係數相同時，非零次係數相同，所以只差常數項。

代表公式（精確 TeX）

A(f)

成立條件

• 多項式族f採1至4個升冪整數係數；候選F採1至5個升冪有理數對[n,d]，d>0，不以有限代入取樣判F'=f。
• 單項式族c*x^n另限n=0至5，其非零primitive可長度7；多項式x^0恆為1，包括x=0。c=0的零原函數正規表示為[0/1]，不保留無意義高次零項。
• 代表答案以升冪最簡正分母有理係數列出，常數為0；求F0(x)+C的值時，C及x是真正資料，不因求導會消掉C而刪掉它。

符號作用域

• A — 本輪常數項0的多項式原函數代表
• f — 指定全R多項式

直觀、定義與常見誤解

給出一個原函數和給出全部原函數不同；本輪以F0選定可重播代表，但實際常數族F0+C不被忽略。

候選驗收逐係數核對導數多項式是否等於f；候選的常數項不影響此判定，卻會影響函數求值。零函數的原函數是常數，不任意給零函數一個虛假高次次數。

本輪只對多項式係數核對差常數；一般可微函數的區間版本另有平均值定理義務，不能由這些有限資料升格，也不搬到不連通論域。這不是函數的反函數，也不是導數數值取倒數。

漏掉常數族、以幾個相等測點替代多項式恆等，或把原函數當反函數。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實函數在一點的導數與差商 — F'=f的原函數判準。
• 多項式的和、乘積與合成微分 — 有限多項式求導與係數恆等。
• 有理數 — 除以k+1的精確係數。

驗證界線

有限多項式係數及條件求值可精確重算；一般原函數存在性／區間唯一差常數的形式 Evidence未新增。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

橋接有理係數poly derivative identity及選定常數，保留全R區間與一般存在性界線。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。