壓縮映射定理

數學敘述

題族以完整finite metric與total self-map逐對驗d(Tx,Ty)≤q d(x,y)，固定0≤q<1。從任意x0完整產生Picard orbit，枚舉fixed points並核唯一性；exact rational metric下驗d(x_n,x*)≤q^n/(1-q)d(x_1,x_0)。finite metric自動complete但只證指定模型；q=1、非self-map、非complete空間與sampled-pairs不足均不得套定理。

代表公式（精確 TeX）

C(X,T,q)=x

成立條件

• finite metric matrix完整驗nonnegative、identity、symmetry與triangle inequality。
• mapping為complete total self-map，q為exact rational。

符號作用域

• C — 壓縮映射定理
• X — 完備度量空間
• T — 壓縮self-map
• q — 壓縮常數
• x — 唯一不動點

直觀、定義與常見誤解

完整metric/self-map/contraction資格先於定理。

Picard orbit與唯一fixed point分開核對。

geometric tail給exact error bound。

只抽樣幾對點、允許q=1或忽略self-map/completeness仍宣稱唯一fixed point。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 軌道、固定點與週期點 — Picard orbit與fixed point。
• 完備度量空間 — completeness。
• 度量空間中的收斂 — Cauchy/convergence。
• 無窮級數 — geometric tail bound。

驗證界線

finite model證書不取代一般complete-space theorem proof。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Picard–Lindelöf等應用。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。