多項式的和、乘積與合成微分

數學敘述

在相應點可微的實函數有 (f+g)'=f'+g'、(cf)'=cf'、(fg)'=f'g+fg'；若g在x可微且f在g(x)可微，(f∘g)'(x)=f'(g(x))g'(x)。本輪f、g是全R多項式，以常數項起算的升冪係數列表表示。

代表公式（精確 TeX）

D(f,x)

成立條件

• 題庫輸入多項式每列1至4個安全整數係數，即次數至多3；末端零係數正規化，空列不合法。
• 所有輸入多項式在R處處可微，合成的外函數在g(x)取導數，不在x錯置；不以此切片判任意函數可微。
• 主端展開和、縮放、乘積或合成多項式再求導；出題端用規則另算。合成／乘積可能升次，不能截掉新項。

符號作用域

• D — 指定多項式導數的點值
• f — 合併後或指定的多項式函數
• x — 整數題庫中的實數求值點

直觀、定義與常見誤解

乘積規則不是f'g'；鏈式規則既要外導數在內函數值取值，也要乘內導數。共同常數項只在確實不影響指定規則時才可去除。

升冪列表 [a0,a1,a2] 表示a0+a1*x+a2*x²，不是降冪。末端補零只是同一個多項式，不能當新題。

零純量、零多項式、常數外函數或常數內函數需要保留；合成後是常數時導數零。不同答案的真實尺度與求值點不會因去重被盲目刪除。

乘積導數直接乘兩導數、鏈式規則漏內導數或外函數取錯點，或把係數序列反讀。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實函數在一點的導數與差商 — 先保留導數存在性語義。
• 一元有理係數多項式 — 升冪係數及有限運算。
• 函數合成 — 外函數輸入為g(x)。

驗證界線

有限多項式恆等與點值可精確重算；一般微分規則的形式 Evidence仍未建立。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

固定版 polynomial derivative/eval、HasDerivAt.add／mul／comp橋接；不以有限點值替代一般可微前提。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。