單調有界數列收斂定理

數學敘述

保留全稱monotonicity與相應bound。若s=sup{a_n}，s-epsilon不是upper bound給出N，之後由monotonicity控制全部tail。sup/inf未必是某一項。有限prefix不證全序列，monotone無界或bounded nonmonotone不在定理假設。

代表公式（精確 TeX）

a_n\to s

成立條件

• 主證書使用a_n=L±c/(n+s)，c>0且s>=1的symbolic全tail。
• epsilon為正有理數並求嚴格誤差witness。

符號作用域

• a_n — 單調實數列
• s — 極限界

直觀、定義與常見誤解

nondecreasing配upper bound，nonincreasing配lower bound。

sup/inf未必attained。

finite prefix與缺一hypothesis皆不足。

由幾項單調便宣稱全序列收斂，或把sup一律當maximum。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 上確界與下確界 — 極限候選。
• 數列極限與精確尾界 — epsilon-tail。
• 實數大小與順序 — monotonicity與bounds。

驗證界線

exact families限明示symbolic tails；不由有限samples證一般定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Bolzano-Weierstrass與更多compactness結果。

同源結構化資料

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