軌道－穩定子定理

數學敘述

固定同一完整有限作用G作用X與x。action map phi_x(g)=g·x對orbit滿射；若g0·x=y，fiber精確等於左陪集g0 Stab_G(x)，故|G|=|G·x||Stab_G(x)|。不要求action free、faithful或transitive；proper sample、不同point綁定或只碰巧數值相等皆不足。

代表公式（精確 TeX）

c(G)=c(O(x))*c(S(x))

成立條件

• 完整有限群表與total action table已通過全部作用公理。
• orbit、stabilizer與fibers均相對同一指定point完整枚舉。

符號作用域

• c — 有限基數
• G — 作用有限群
• O — 軌道算子
• x — 指定點
• S — 穩定子算子

直觀、定義與常見誤解

action map的fibers是stabilizer左陪集。

每個fiber大小相同且orbit是像。

計數identity不加入free或transitive假設。

只驗|G|數值乘積，卻未綁定同一作用、同一點或fiber-coset bijection。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限群作用的軌道 — 完整orbit。
• 有限群作用的穩定子群 — 同一point stabilizer。
• 集合基數比較 — finite coset/fiber counting。

驗證界線

本輪限完整有限作用；不由sampled group elements推一般定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Cauchy定理與同態kernel。

同源結構化資料

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