有限樣本空間的實值隨機變數

數學敘述

在非空有限樣本空間 S、事件族 F=𝒫(S) 和合法機率律 P 下，實值隨機變數為總函數 X:S→R。對任何實數子集合 T，其原像 {s∈S:X(s)∈T} 是事件；點機率 P(X=t) 是所有 X(s)=t 的結果權重之和。

代表公式（精確 TeX）

X:S\to R

成立條件

• S 非空有限，事件族為全冪集，X 在每個基本結果有唯一實數值。
• 值、值域、原像事件題只讀取函數資料，不猜機率律；點機率題另明示合法有理權重。

符號作用域

• X — 實值隨機變數
• S — 非空有限樣本空間
• R — 實數陪域

直觀、定義與常見誤解

不同基本結果可以有相同隨機變數值；值域去除重複值，但計算點機率時須把所有原像權重相加。

原像事件可由 X(s)≥t 等明示條件篩選基本結果。事件集合不是一個數值機率，沒給權重時不假設等可能。

本輪使用整數結果標籤與整數輸出值的精確切片。有限全冪集使所有原像皆為事件；一般可測空間、連續密度與機率分布表示另有義務。

把隨機變數當成一次抽樣結果、把值域基數當成機率，或漏加相同輸出值的權重。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 函數映射 — 隨機變數的函數總定義性。
• 樣本空間 — 輸入是基本結果而不是隨機變數值。
• 實數 — 輸出限定實數。
• 有限樣本空間上的機率 — 點機率需要權重及事件機率。

驗證界線

有限函數和點質量可完整重算；一般可測性與分布推前的形式橋仍未附 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定有限 PMF、總函數、preimage event 與 pushforward；一般 Measurable 另列。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。