Taylor多項式

數學敘述

固定center a及order n≥0，並要求f^(k)(a)對0≤k≤n全部存在。T_n(x)=sum_{k=0}^n f^(k)(a)(x-a)^k/k!；n=0時為常數f(a)。Taylor polynomial本身不含remainder bound，也不保證無窮Taylor series收斂或等於f。若f本身是degree≤n的多項式則可exact重建；一般smooth函數不得由此外推analytic。

代表公式（精確 TeX）

T(f,a,n)

成立條件

• 正向題族以完整derivative jet或以中心冪基底給出的精確有理／整數多項式係數。
• 所有factorial division使用exact rational arithmetic，不接受浮點近似或省略center shift。

符號作用域

• T — Taylor多項式算子
• f — 具有有限導數jet的函數
• a — 展開中心
• n — 非負階數

直觀、定義與常見誤解

係數是f^(k)(a)/k!而不是裸導數。

center shift必須使用(x-a)^k。

finite polynomial不自帶remainder或analytic結論。

漏掉factorial、在錯誤center使用derivative jet，或把Taylor polynomial直接等同原函數／無窮series。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 多項式的和、乘積與合成微分 — 導數值與多項式微分。
• 一元有理係數多項式 — 有限Taylor和的代數物件。
• 階乘 — k!係數縮放。
• 高階導數 — 完整零至n階derivative jet。

驗證界線

本輪只建立有限多項式；remainder、收斂與analyticity均須另證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Taylor餘項定理。

同源結構化資料

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