Taylor餘項定理

數學敘述

明示center a、point x、order n與完整polynomial coefficients，直接算Taylor polynomial與remainder。degree≤n時remainder為0；degree n+1時以constant (n+1)th derivative及strictly intermediate midpoint給exact Lagrange witness。exact boundary只接受M至少為derivative supremum的valid bound，或0≤M<D的undersized witness；負M與其他假mode拒絕。finite jet不推出一般remainder theorem、Taylor-series equality或analyticity。

代表公式（精確 TeX）

R(f,a,x,n)=r

成立條件

• polynomial instances採exact rational arithmetic。
• general theorem的interval-wide differentiability與derivative bound明示為責任。

符號作用域

• R — Taylor餘項
• f — 可微函數
• a — 展開中心
• x — 評估點
• n — Taylor階數
• r — 精確餘項

直觀、定義與常見誤解

完整計算Taylor polynomial與remainder。

zero與degree n+1 exact witness分開。

exact derivative supremum與undersized bound分層。

從中心finite jet或少數samples推出一般Taylor remainder或analyticity。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• Taylor多項式 — finite jet。
• 高階導數 — interval-wide n+1 derivative。
• 微分中值定理 — Lagrange remainder背景。
• 絕對值 — remainder bound。

驗證界線

polynomial exact cases只證指定模型。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入analytic Taylor-series convergence。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。