R0055-28427 · q-20261003-r04-quadratic-equation-0077
在實數論域，(-1)x²+(2)x+(-1)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。
G001 — 在實數論域，(-1)x²+(2)x+(-1)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-quadratic-exact-roots, exact_roots]
操作後
derived = [[increasing_reduced_positive_denominator_root_SET_retaining1]]
條件：無
此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。
規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL b squared := mul(2, 2)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL b squared = 4
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL a times c := mul(-1, -1)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL a times c = 1
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL four times ac := mul(4, 1)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL four times ac = 4
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac := sub(4, 4)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac = 0
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [-1, 2, -1, 0]
操作後
derived = [4a*(a*x^2+b*x+c)=(2a*x+b)^2-D, 1]
條件：無
a非0使4a可逆，方程等價(2ax+b)²=D。D<0無實根，D0一個值，D>0兩個相異值；重根只算一次，D為不設衍生SAFE上限的BigInt。
規則：Legacy_quadratic_GENERAL_complete_square_iff_DISTINCT_real_roots · 依賴：G001, S005
操作前
Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square := mul(0, 0)
操作後
Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square = 0
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square := mul(1, 1)
操作後
Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square = 1
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 0, 0, 1]
操作後
derived = [0, 1]
條件：無
相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。
規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S008
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL negated b := sub(0, 2)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL negated b = -2
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator := sub(-2, 0)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator = -2
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator := sum(-2, 0)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator = -2
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a := mul(2, -1)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a = -2
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 := div(-2, -2)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 = 1
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [0, -2, -2]
操作後
derived = [1, 1, 1/1]
條件：無
對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。
規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S014
操作前
Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 := div(-2, -2)
操作後
Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 = 1
條件：無
按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [1, -2, -2]
操作後
derived = [1, 1, 1/1]
條件：無
對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。
規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [-1, 0, [1/1, 1/1]]
操作後
derived = [[1/1], {1/1}]條件：無
按有理數實值／cross products排序，不能lexical或假設minus branch一定較小（a負會反向）。D0的兩個branch同值只列一次；完整square iff也證沒有漏根。
規則：Legacy_quadratic_EXACT_numeric_sort_and_D0_set_dedup · 依賴：G001, S017
S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL negated b，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL a times c，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。{1/1}依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 50b07ab0cada2017f3c0b812b9b3f174e199d89f3666903af5ceb77647375087candidate record SHA-256: 1c7d91f4ae7ed413144ee120f76ef5ebfada44a547971c458c580d1ef32a9601semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4eLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED