第 35815 題：縮放後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 4), (1, 4), (2, 20), (3, 1013)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/22, 16/22, 5/22, 0/22]，權重總和恰為一。令 Z=5X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 4), (1, 4), (2, 20), (3, 1013)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/22, 16/22, 5/22, 0/22]，權重總和恰為一。令 Z=5X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]]

derived = [variance, scale_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 16, 5, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 22

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [4, 4, 20, 1013], [1, 16, 5, 0], 22, 5, null]

derived = [是]

Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(5, 4)

Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 20

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 20)

Variance weight times transformed value i=0 = 20

source roles = [0, 0, 4, 1, 5, null]

derived = [20, 1/22]

Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(5, 4)

Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 20

Variance weight times transformed value i=1 := mul(16, 20)

Variance weight times transformed value i=1 = 320

source roles = [1, 1, 4, 16, 5, null]

derived = [20, 8/11]

Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(5, 20)

Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 100

Variance weight times transformed value i=2 := mul(5, 100)

Variance weight times transformed value i=2 = 500

source roles = [2, 2, 20, 5, 5, null]

derived = [100, 5/22]

Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(5, 1013)

Variance transformed ORIGINAL value i=3 = 5065

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 5065)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1013, 0, 5, null]

derived = [5065, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(20, 320, 500, 0)

Variance mean numerator sum wY = 840

Variance exact expectation M over q := div(840, 22)

Variance exact expectation M over q = 420/11

Variance i=0 Y times q := mul(20, 22)

Variance i=0 Y times q = 440

Variance i=0 centered integer numerator := sub(440, 840)

Variance i=0 centered integer numerator = -400

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-400, -400)

Variance i=0 centered numerator squared = 160000

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 160000)

Variance i=0 weight times squared numerator = 160000

Variance i=1 Y times q := mul(20, 22)

Variance i=1 Y times q = 440

Variance i=1 centered integer numerator := sub(440, 840)

Variance i=1 centered integer numerator = -400

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-400, -400)

Variance i=1 centered numerator squared = 160000

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(16, 160000)

Variance i=1 weight times squared numerator = 2560000

Variance i=2 Y times q := mul(100, 22)

Variance i=2 Y times q = 2200

Variance i=2 centered integer numerator := sub(2200, 840)

Variance i=2 centered integer numerator = 1360

Variance i=2 centered numerator squared := mul(1360, 1360)

Variance i=2 centered numerator squared = 1849600

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(5, 1849600)

Variance i=2 weight times squared numerator = 9248000

Variance i=3 Y times q := mul(5065, 22)

Variance i=3 Y times q = 111430

Variance i=3 centered integer numerator := sub(111430, 840)

Variance i=3 centered integer numerator = 110590

Variance i=3 centered numerator squared := mul(110590, 110590)

Variance i=3 centered numerator squared = 12230148100

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 12230148100)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(160000, 2560000, 9248000, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 11968000

Variance denominator q squared := mul(22, 22)

Variance denominator q squared = 484

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(484, 22)

Variance denominator q cubed binary second factor = 10648

Variance probability population centered sum over q cubed := div(11968000, 10648)

Variance probability population centered sum over q cubed = 136000/121

source roles = [[20, 20, 100, 5065], [1, 16, 5, 0], 22, 420/11, 11968000, 10648]

derived = [136000/121, [20, 100], 否]

source roles = [scale_variance, 5, null]

derived = [136000/121]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

136000/121

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。