第 3860 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-10x+(-3)，其升冪係數=[-3, -10]；a=-1、b=3，N=10等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-10x+(-3)，其升冪係數=[-3, -10]；a=-1、b=3，N=10等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(3, -1)

interval width = 4

partition step := div(4, 10)

partition step = 2/5

left sample0 offset := mul(0, 2/5)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(-1, 0)

left sample0 x = -1

left sample0 mx := mul(-10, -1)

left sample0 mx = 10

left sample0 value := sum(10, -3)

left sample0 value = 7

left sample0 rectangle := mul(7, 2/5)

left sample0 rectangle = 14/5

[-1, 7, 14/5]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 2/5)

left sample1 offset = 2/5

left sample1 x := sum(-1, 2/5)

left sample1 x = -3/5

left sample1 mx := mul(-10, -3/5)

left sample1 mx = 6

left sample1 value := sum(6, -3)

left sample1 value = 3

left sample1 rectangle := mul(3, 2/5)

left sample1 rectangle = 6/5

[-3/5, 3, 6/5]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 2/5)

left sample2 offset = 4/5

left sample2 x := sum(-1, 4/5)

left sample2 x = -1/5

left sample2 mx := mul(-10, -1/5)

left sample2 mx = 2

left sample2 value := sum(2, -3)

left sample2 value = -1

left sample2 rectangle := mul(-1, 2/5)

left sample2 rectangle = -2/5

[-1/5, -1, -2/5]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 2/5)

left sample3 offset = 6/5

left sample3 x := sum(-1, 6/5)

left sample3 x = 1/5

left sample3 mx := mul(-10, 1/5)

left sample3 mx = -2

left sample3 value := sum(-2, -3)

left sample3 value = -5

left sample3 rectangle := mul(-5, 2/5)

left sample3 rectangle = -2

[1/5, -5, -2]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 2/5)

left sample4 offset = 8/5

left sample4 x := sum(-1, 8/5)

left sample4 x = 3/5

left sample4 mx := mul(-10, 3/5)

left sample4 mx = -6

left sample4 value := sum(-6, -3)

left sample4 value = -9

left sample4 rectangle := mul(-9, 2/5)

left sample4 rectangle = -18/5

[3/5, -9, -18/5]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 2/5)

left sample5 offset = 2

left sample5 x := sum(-1, 2)

left sample5 x = 1

left sample5 mx := mul(-10, 1)

left sample5 mx = -10

left sample5 value := sum(-10, -3)

left sample5 value = -13

left sample5 rectangle := mul(-13, 2/5)

left sample5 rectangle = -26/5

[1, -13, -26/5]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 2/5)

left sample6 offset = 12/5

left sample6 x := sum(-1, 12/5)

left sample6 x = 7/5

left sample6 mx := mul(-10, 7/5)

left sample6 mx = -14

left sample6 value := sum(-14, -3)

left sample6 value = -17

left sample6 rectangle := mul(-17, 2/5)

left sample6 rectangle = -34/5

[7/5, -17, -34/5]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 2/5)

left sample7 offset = 14/5

left sample7 x := sum(-1, 14/5)

left sample7 x = 9/5

left sample7 mx := mul(-10, 9/5)

left sample7 mx = -18

left sample7 value := sum(-18, -3)

left sample7 value = -21

left sample7 rectangle := mul(-21, 2/5)

left sample7 rectangle = -42/5

[9/5, -21, -42/5]

finite left-sum term index=7

left sample8 offset := mul(8, 2/5)

left sample8 offset = 16/5

left sample8 x := sum(-1, 16/5)

left sample8 x = 11/5

left sample8 mx := mul(-10, 11/5)

left sample8 mx = -22

left sample8 value := sum(-22, -3)

left sample8 value = -25

left sample8 rectangle := mul(-25, 2/5)

left sample8 rectangle = -10

[11/5, -25, -10]

finite left-sum term index=8

left sample9 offset := mul(9, 2/5)

left sample9 offset = 18/5

left sample9 x := sum(-1, 18/5)

left sample9 x = 13/5

left sample9 mx := mul(-10, 13/5)

left sample9 mx = -26

left sample9 value := sum(-26, -3)

left sample9 value = -29

left sample9 rectangle := mul(-29, 2/5)

left sample9 rectangle = -58/5

[13/5, -29, -58/5]

finite left-sum term index=9

finite left sum := sum(14/5, 6/5, -2/5, -2, -18/5, -26/5, -34/5, -42/5, -10, -58/5)

finite left sum = -44

affine integral primitive coefficient1 := div(-3, 1)

affine integral primitive coefficient1 = -3

affine integral primitive coefficient2 := div(-10, 2)

affine integral primitive coefficient2 = -5

[0, -3, -5]

H′=the supplied polynomial;integrate from -1 to 3

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, -3, -5]

evaluate at x=3

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-5, 3)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -15

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-15, -3)

affine integral H(b) Horner add degree1 = -18

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-18, 3)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -54

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-54, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = -54

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, -3, -5]

evaluate at x=-1

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-5, -1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = 5

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(5, -3)

affine integral H(a) Horner add degree1 = 2

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(2, -1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -2

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-2, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = -2

affine integral oriented moment := sub(-54, -2)

affine integral oriented moment = -52

integral minus left sum := sub(-52, -44)

integral minus left sum = -8

I=-52;S_N=-44;N=10

signed finite-sum difference=-8

逐步反向核對

• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 rectangle，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 mx，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 offset，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 rectangle，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 mx，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 x，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 offset，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-8/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。