第 3864 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-14x+(1)，其升冪係數=[1, -14]；a=-1、b=1，N=14等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-14x+(1)，其升冪係數=[1, -14]；a=-1、b=1，N=14等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(1, -1)

interval width = 2

partition step := div(2, 14)

partition step = 1/7

left sample0 offset := mul(0, 1/7)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(-1, 0)

left sample0 x = -1

left sample0 mx := mul(-14, -1)

left sample0 mx = 14

left sample0 value := sum(14, 1)

left sample0 value = 15

left sample0 rectangle := mul(15, 1/7)

left sample0 rectangle = 15/7

[-1, 15, 15/7]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 1/7)

left sample1 offset = 1/7

left sample1 x := sum(-1, 1/7)

left sample1 x = -6/7

left sample1 mx := mul(-14, -6/7)

left sample1 mx = 12

left sample1 value := sum(12, 1)

left sample1 value = 13

left sample1 rectangle := mul(13, 1/7)

left sample1 rectangle = 13/7

[-6/7, 13, 13/7]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 1/7)

left sample2 offset = 2/7

left sample2 x := sum(-1, 2/7)

left sample2 x = -5/7

left sample2 mx := mul(-14, -5/7)

left sample2 mx = 10

left sample2 value := sum(10, 1)

left sample2 value = 11

left sample2 rectangle := mul(11, 1/7)

left sample2 rectangle = 11/7

[-5/7, 11, 11/7]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 1/7)

left sample3 offset = 3/7

left sample3 x := sum(-1, 3/7)

left sample3 x = -4/7

left sample3 mx := mul(-14, -4/7)

left sample3 mx = 8

left sample3 value := sum(8, 1)

left sample3 value = 9

left sample3 rectangle := mul(9, 1/7)

left sample3 rectangle = 9/7

[-4/7, 9, 9/7]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 1/7)

left sample4 offset = 4/7

left sample4 x := sum(-1, 4/7)

left sample4 x = -3/7

left sample4 mx := mul(-14, -3/7)

left sample4 mx = 6

left sample4 value := sum(6, 1)

left sample4 value = 7

left sample4 rectangle := mul(7, 1/7)

left sample4 rectangle = 1

[-3/7, 7, 1]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 1/7)

left sample5 offset = 5/7

left sample5 x := sum(-1, 5/7)

left sample5 x = -2/7

left sample5 mx := mul(-14, -2/7)

left sample5 mx = 4

left sample5 value := sum(4, 1)

left sample5 value = 5

left sample5 rectangle := mul(5, 1/7)

left sample5 rectangle = 5/7

[-2/7, 5, 5/7]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 1/7)

left sample6 offset = 6/7

left sample6 x := sum(-1, 6/7)

left sample6 x = -1/7

left sample6 mx := mul(-14, -1/7)

left sample6 mx = 2

left sample6 value := sum(2, 1)

left sample6 value = 3

left sample6 rectangle := mul(3, 1/7)

left sample6 rectangle = 3/7

[-1/7, 3, 3/7]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 1/7)

left sample7 offset = 1

left sample7 x := sum(-1, 1)

left sample7 x = 0

left sample7 mx := mul(-14, 0)

left sample7 mx = 0

left sample7 value := sum(0, 1)

left sample7 value = 1

left sample7 rectangle := mul(1, 1/7)

left sample7 rectangle = 1/7

[0, 1, 1/7]

finite left-sum term index=7

left sample8 offset := mul(8, 1/7)

left sample8 offset = 8/7

left sample8 x := sum(-1, 8/7)

left sample8 x = 1/7

left sample8 mx := mul(-14, 1/7)

left sample8 mx = -2

left sample8 value := sum(-2, 1)

left sample8 value = -1

left sample8 rectangle := mul(-1, 1/7)

left sample8 rectangle = -1/7

[1/7, -1, -1/7]

finite left-sum term index=8

left sample9 offset := mul(9, 1/7)

left sample9 offset = 9/7

left sample9 x := sum(-1, 9/7)

left sample9 x = 2/7

left sample9 mx := mul(-14, 2/7)

left sample9 mx = -4

left sample9 value := sum(-4, 1)

left sample9 value = -3

left sample9 rectangle := mul(-3, 1/7)

left sample9 rectangle = -3/7

[2/7, -3, -3/7]

finite left-sum term index=9

left sample10 offset := mul(10, 1/7)

left sample10 offset = 10/7

left sample10 x := sum(-1, 10/7)

left sample10 x = 3/7

left sample10 mx := mul(-14, 3/7)

left sample10 mx = -6

left sample10 value := sum(-6, 1)

left sample10 value = -5

left sample10 rectangle := mul(-5, 1/7)

left sample10 rectangle = -5/7

[3/7, -5, -5/7]

finite left-sum term index=10

left sample11 offset := mul(11, 1/7)

left sample11 offset = 11/7

left sample11 x := sum(-1, 11/7)

left sample11 x = 4/7

left sample11 mx := mul(-14, 4/7)

left sample11 mx = -8

left sample11 value := sum(-8, 1)

left sample11 value = -7

left sample11 rectangle := mul(-7, 1/7)

left sample11 rectangle = -1

[4/7, -7, -1]

finite left-sum term index=11

left sample12 offset := mul(12, 1/7)

left sample12 offset = 12/7

left sample12 x := sum(-1, 12/7)

left sample12 x = 5/7

left sample12 mx := mul(-14, 5/7)

left sample12 mx = -10

left sample12 value := sum(-10, 1)

left sample12 value = -9

left sample12 rectangle := mul(-9, 1/7)

left sample12 rectangle = -9/7

[5/7, -9, -9/7]

finite left-sum term index=12

left sample13 offset := mul(13, 1/7)

left sample13 offset = 13/7

left sample13 x := sum(-1, 13/7)

left sample13 x = 6/7

left sample13 mx := mul(-14, 6/7)

left sample13 mx = -12

left sample13 value := sum(-12, 1)

left sample13 value = -11

left sample13 rectangle := mul(-11, 1/7)

left sample13 rectangle = -11/7

[6/7, -11, -11/7]

finite left-sum term index=13

finite left sum := sum(15/7, 13/7, 11/7, 9/7, 1, 5/7, 3/7, 1/7, -1/7, -3/7, -5/7, -1, -9/7, -11/7)

finite left sum = 4

affine integral primitive coefficient1 := div(1, 1)

affine integral primitive coefficient1 = 1

affine integral primitive coefficient2 := div(-14, 2)

affine integral primitive coefficient2 = -7

[0, 1, -7]

H′=the supplied polynomial;integrate from -1 to 1

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, 1, -7]

evaluate at x=1

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-7, 1)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -7

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-7, 1)

affine integral H(b) Horner add degree1 = -6

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-6, 1)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -6

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-6, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = -6

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, 1, -7]

evaluate at x=-1

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-7, -1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = 7

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(7, 1)

affine integral H(a) Horner add degree1 = 8

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(8, -1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -8

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-8, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = -8

affine integral oriented moment := sub(-6, -8)

affine integral oriented moment = 2

integral minus left sum := sub(2, 4)

integral minus left sum = -2

I=2;S_N=4;N=14

signed finite-sum difference=-2

逐步反向核對

• S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 rectangle，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 value，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 mx，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 x，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 offset，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 rectangle，不以小數近似替代。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 value，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 mx，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 x，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 offset，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 rectangle，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 value，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 mx，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 x，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 offset，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 rectangle，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 value，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 mx，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 x，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 offset，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 rectangle，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 mx，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 offset，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 rectangle，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 mx，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 x，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 offset，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-2/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。