第 12157 題：Cauchy序列

原題與已知條件

保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":7,"epsilon":[1,9]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。

• G001 — 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":7,"epsilon":[1,9]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-cauchy-sequence

逐步推導

epsilon reciprocal threshold := div(9, 1)

epsilon reciprocal threshold = 9

positive epsilon=1/9;reciprocal threshold=9

floor threshold=9;9*1<=9<(9+1)*1

unclamped reciprocal cutoff := sum(9, -7, 1)

unclamped reciprocal cutoff = 3

reciprocal tail bound denominator := sum(3, 7)

reciprocal tail bound denominator = 10

reciprocal tail bound := div(1, 10)

reciprocal tail bound = 1/10

previous cutoff denominator := sum(2, 7)

previous cutoff denominator = 9

previous cutoff bound := div(1, 9)

previous cutoff bound = 1/9

N=3;bound=1/10;previous bound=1/9;epsilon=1/9

current bound is strict;previous cutoff fails;N is least nonnegative

explicit x_n=1/(n+7);N=3;bound=1/10<epsilon=1/9

all m,n>=N:both terms in[0,bound],so distance<=bound<epsilon

逐步反向核對

• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 previous cutoff bound，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 previous cutoff denominator，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reciprocal tail bound，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reciprocal tail bound denominator，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 unclamped reciprocal cutoff，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 epsilon reciprocal threshold，不以小數近似替代。

結論

(7, 1/9, 3, 1/10, m,n>=N implies distance<=1/(N+shift)<epsilon, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。