第 15231 題：實Hilbert空間

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[7,2],[2,5]],"left":[-7,-2],"right":[7,2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

• G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[7,2],[2,5]],"left":[-7,-2],"right":[7,2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-hilbert-space

逐步推導

Hilbert Gram diagonal product := mul(7, 5)

Hilbert Gram diagonal product = 35

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2)

Hilbert Gram off-diagonal product = 4

Hilbert Gram determinant := sub(35, 4)

Hilbert Gram determinant = 31

Hilbert completing-square slope := div(2, 7)

Hilbert completing-square slope = 2/7

Hilbert completing-square positive residual := div(31, 7)

Hilbert completing-square positive residual = 31/7

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[7, 2], [2, 5]];a=7>0;det=31>0;dimension declaration=2

x^T M x=7*(x0+(2/7)*x1)^2+(31/7)*x1^2;zero only at x=0

Hilbert distance coordinate0 difference := sub(-7, 7)

Hilbert distance coordinate0 difference = -14

Hilbert distance coordinate1 difference := sub(-2, 2)

Hilbert distance coordinate1 difference = -4

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate := mul(7, -14)

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate = -98

Hilbert distance term(0,0) := mul(-98, -14)

Hilbert distance term(0,0) = 1372

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate := mul(2, -14)

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate = -28

Hilbert distance term(0,1) := mul(-28, -4)

Hilbert distance term(0,1) = 112

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate := mul(2, -4)

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate = -8

Hilbert distance term(1,0) := mul(-8, -14)

Hilbert distance term(1,0) = 112

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate := mul(5, -4)

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate = -20

Hilbert distance term(1,1) := mul(-20, -4)

Hilbert distance term(1,1) = 80

Hilbert distance complete bilinear sum := sum(1372, 112, 112, 80)

Hilbert distance complete bilinear sum = 1676

left=[-7, -2];right=[7, 2];same induced metric on R^2;squared norm=1676

distance=sqrt(1676)

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance complete bilinear sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,1)，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,0)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,0)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate1 difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate0 difference，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([-7, -2], [7, 2], [-14, -4], 1676, sqrt(1676))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。