R0052-26926 · q-20261015-advance-20261117-r01-series-comparison-test-0051
非負項、eventual forall比較方向與reference series狀態責任。操作=series-eventual-tail；資料={"prefix_a":[],"prefix_b":[],"a_scale":1,"b_scale":2,"ratio":[1,8],"cutoff":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 非負項、eventual forall比較方向與reference series狀態責任。操作=series-eventual-tail；資料={"prefix_a":[],"prefix_b":[],"a_scale":1,"b_scale":2,"ratio":[1,8],"cutoff":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [series-eventual-tail]
操作後
derived = [[cutoff, prefix_a_sum, prefix_b_sum, tail_a_sum, tail_b_sum, total_a, convergent, certificate]]
條件：無
直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [1, 2, 1/8]
操作後
derived = [EVERY tail term is A*r^k and B*r^k for k>=0, r^0=1 including r=0, 是]
條件：無
整條tail律是給定前提，k由0開始；0<=A<=B與r>=0給逐項比較，0<=r<1才可用geometric和。r=0的首項仍有r^0=1。
規則：Series_WHOLE_geometric_tail_premises_not_finite_samples · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [0, [], []]
操作後
derived = [0, 0, tail exponent n-cutoff starts at0]
條件：無
cutoff是prefix項數；兩prefix各自非負但不要求逐項或總和互相比較，tail在n=cutoff從指數0開始。空prefix合法。
規則：Series_arbitrary_nonnegative_prefix_count_NOT_global_order · 依賴：G001, S002
操作前
Series ORIGINAL one minus ratio := sub(1, 1/8)
操作後
Series ORIGINAL one minus ratio = 7/8
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Series ORIGINAL geometric tailA := div(1, 7/8)
操作後
Series ORIGINAL geometric tailA = 8/7
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Series ORIGINAL geometric tailB := div(2, 7/8)
操作後
Series ORIGINAL geometric tailB = 16/7
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [1, 2, 1/8, 7/8]
操作後
derived = [8/7, 16/7, 是]
條件：無
有限和S_N=A(1-r^N)/(1-r)，乘(1-r)可逐項相消；r^N→0給tail和A/(1-r)，B同理。非負a的部分和遞增且由已收斂b的和控制，故收斂；不是以有限項近似代替∀n。
規則：Series_GENERAL_geometric_partial_sum_limit_and_upper_comparison · 依賴：G001, S006
操作前
Series ORIGINAL totalA prefix plus tail := sum(0, 8/7)
操作後
Series ORIGINAL totalA prefix plus tail = 8/7
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [0, 0, 0, 8/7, 16/7]
操作後
derived = [8/7, 是]
條件：無
從足夠大N起，總部分和=固定prefix和+tail部分和；加固定有限數保極限，故A收斂。只比較tail，不宣稱兩個全級數總和有序，也不替未輸出的totalB加來源數值限制。
規則：Series_finite_prefix_preserves_tail_convergence_NOT_total_order · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL totalA prefix plus tail，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL geometric tailB，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL geometric tailA，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL one minus ratio，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。(0, 0, 0, 8/7, 16/7, 8/7, 是, finite_prefix_does_not_change_tail_convergence)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 318e95a9e689e7b6ff68f24026ee767b116b395e9b22832b7066254dc7493197candidate record SHA-256: 35d8592d84cc291864c4315726c17c5b290268ac49eaca90c0073f508da09e13semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED