高階導數

數學敘述

n∈N_0且每一中間階都須在宣告domain可再微分。存在第n階不推出第n+1階。多項式exact family用falling-factorial coefficients；order超過degree後為zero。高階導數存在不推出analytic或Taylor series convergence。

代表公式（精確 TeX）

D_n(f)

成立條件

• 正向families使用low-to-high整係數多項式coefficient array。
• order與evaluation point為bounded safe integers。

符號作用域

• D_n — 第n階導數算子
• f — 逐階可微函數

直觀、定義與常見誤解

order zero回到原函數。

每次derivative都以前一階存在為前提。

polynomial beyond-degree derivatives為zero。

從f^(n)存在推f^(n+1)存在，或從所有有限階存在直接推analytic。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實函數在一點的導數與差商 — first derivative。
• 多項式的和、乘積與合成微分 — polynomial differentiation。
• 數學歸納法 — recursive order。

驗證界線

本輪polynomial certificates不代表一般smooth/analytic theorem。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Taylor polynomial。

同源結構化資料

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