有限群的Lagrange定理

數學敘述

H須由完整Cayley table認證為subgroup。全部left cosets gH必須相等或不交並完整覆蓋G；h↦gh給出H到gH的bijection，所以每個coset大小為|H|。結論|G|=[G:H]|H|。本輪converse family只證d整除|G|不表示任意指定d-element subset是subgroup；不以該witness證明或否定某個order-d subgroup是否存在。

代表公式（精確 TeX）

c(G)=i(G,H)*c(H)

成立條件

• 完整有限Cayley table、identity與candidate subset。
• 正向families完整驗identity/product/inverse closure及全部cosets。

符號作用域

• c — 有限基數
• G — 有限群
• i — 子群index
• H — 已認證子群

直觀、定義與常見誤解

left translation是H到gH的bijection。

cosets equal or disjoint並覆蓋G。

整除結論沒有一般converse。

只因指定subset大小整除群階便稱其為subgroup，或把subset反例誤報成同階subgroup不存在的證書。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限群 — 完整Cayley table。
• 子群與群同態 — subgroup closure。
• 自然數整除 — order divisibility。
• 集合基數比較 — finite equal-size partition。
• 商集 — left-coset quotient partition。

驗證界線

本輪限完整有限群表；不由sampled products證subgroup。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入有限群Cauchy定理。

同源結構化資料

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