Markov不等式

數學敘述

要求X>=0 almost surely、a>0及E[X]<infinity，結論P(X>=a)<=E[X]/a。完整有限有理law可精確算實際tail與bound；bound不等於tail，signed variable不可直接套用，零閾值禁止。

代表公式（精確 TeX）

M(X,a)

成立條件

• 完整正規化有限有理law與total random-variable values。
• 主定理題的values全非負且threshold為正。

符號作用域

• X — 非負隨機變數
• a — 正閾值

直觀、定義與常見誤解

非負性、正閾值與有限期望是明示hypotheses。

實際tail由完整law加總。

Markov給upper bound而非equality。

對可取負值X直接套Markov，或把E[X]/a當實際機率。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限樣本空間的實值隨機變數 — X及其law。
• 有限模型的期望值 — E[X]。
• 有限樣本空間上的機率 — tail probability。
• 實數大小與順序 — 非負與threshold event。

驗證界線

本輪exact題限完整有限law；一般測度版本只敘述不作有限抽樣證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Chebyshev inequality。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。