鄰域

數學敘述

在拓撲空間 (X,τ) 中，N⊆X 是 x∈X 的鄰域，當且僅當存在 U∈τ，使 x∈U⊆N。所有含 x 的開集構成 x 的開鄰域基礎，但一般鄰域本身不必開。

代表公式（精確 TeX）

x\in N

成立條件

• X、τ、x 與候選 N 已明示，且 x∈X、N⊆X。
• 鄰域採包含開集的集合語義；不預設距離、半徑或單一最小鄰域。

符號作用域

• x — 指定點
• N — 候選鄰域

直觀、定義與常見誤解

核對 N 是否為鄰域時，應搜尋所有含 x 且包含於 N 的開集見證。N 自己不是開集也可能是鄰域。

鄰域具有向上封閉性：若 N 是 x 的鄰域且 N⊆M⊆X，則 M 也是 x 的鄰域。

有限拓撲可完整列出某點的全部鄰域；這個列表依賴拓撲與點，不能只看底集合。

把鄰域等同於開集或開球，或只檢查 x∈N 就宣稱 N 是鄰域。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 拓撲空間 — 鄰域由開集族導出。
• 開集與閉集 — 見證 U 必須是開集。
• 集合隸屬 — 指定點需屬於開集見證與候選鄰域。

驗證界線

有限冪集枚舉可完整核對指定模型；不外推度量球或一般濾子定理。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 nhds、nhds_basis_opens 與 neighborhood filter 的向上封閉語義。

同源結構化資料

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