冪級數收斂半徑

數學敘述

對sum_{n≥0} a_n(x-c)^n，R可為0、有限正數或infinity。若|x-c|<R則絕對收斂；若|x-c|>R則發散；|x-c|=R時不能由R單獨判定。本輪geometric law固定a_n=q^n；endpoint law固定a_n=R^(-n)/(n+1)^p；prefix boundary的兩序列在0≤n≤N皆為0，之後分別為q_1^(n-N-1)與q_2^(n-N-1)。Ratio test只在相應極限存在時可用，不能當一般定義。有限coefficient prefix不足以決定一般radius，且不得以只支援bounded-real supremum的規則排除R=0或infinity。

代表公式（精確 TeX）

R(f,c)=r

成立條件

• 每個exact family明示對全部n有效的coefficient law：geometric q^n、endpoint R^(-n)/(n+1)^p、factorial extremes或zero-prefix後的geometric tails。
• radius與point位置以exact rational或0/infinity標記處理；endpoint另作獨立classification。

符號作用域

• R — 收斂半徑
• f — 冪級數
• c — 展開中心
• r — 擴充非負半徑

直觀、定義與常見誤解

geometric family的完整law是a_n=q^n，故R=1/|q|。

endpoint family用a_n=R^(-n)/(n+1)^p展示兩端可有不同收斂型態。

R=0、R=infinity及兩條共享完整有限prefix但具有不同geometric tails的序列均為定義邊界。

把endpoints自動算入、把ratio limit不存在當R不存在，或由有限係數前綴唯一決定R。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 無窮級數 — pointwise級數收斂。
• 上確界與下確界 — 收斂集合半徑的極值描述。
• 絕對值 — 距中心距離與絕對收斂。
• 自然數冪與主平方根 — coefficient growth與root behavior。

驗證界線

本輪只對明示coefficient laws給exact證書；一般series仍需limsup或其他完整論證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入實指數函數與解析普通生成函數。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。