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第1章 數量、位值與數學表徵

你可能已經會念「三十七」，也知道它寫成37。這一章要再走一步：37裡的3為什麼不是3個一？寫在4052中間的0，為什麼不能直接刪掉？當我們把數字換成積木、表格或一句話時，哪些東西變了，哪些東西沒有變？

本章讀完，你應能解釋數量和數字符號的差別，用十進位位值拆開一個非負整數，並在圖、式子與文字之間保持同一個數量。

1.1 先分清數量、符號與單位

桌上有8顆蘋果。「8」告訴我們個數；「顆蘋果」說明數的是什麼。把同樣8顆蘋果重新排成兩排，顆數仍是8。排列改變了，數量沒有因此改變。

數字符號是表示數的方法。數字3可以出現在3、30或300裡，但它所在的位置不同，所代表的數值就不同。

單位也不能省略成另一個意思。8顆蘋果不等於8公斤；我們還不知道每顆蘋果多重。「顆」是計數單位，「公斤」是質量單位。

本冊把0算在自然數裡，寫作0、1、2、3……。有些書從1開始稱自然數；遇到不同慣例時，先確認定義，不用只靠名稱猜測。0可以表示沒有物件，但0本身仍是一個數。

1.2 十進位的位置怎麼工作

十進位的規則是：相鄰兩個位置，左邊每一個單位等於右邊十個單位。

因此，位值要同時看「這個位置的數字是多少」和「這個位置的一個單位是多少」。百位上的3，代表3個百，也就是300，不是3。

例題1 把37拆成十和一

問題：37可以怎樣拆開？請說明每一步的意思。

1. 37的十位是3，所以先有3個十。
2. 每個十是10，3個十就是30。
3. 個位是7，表示還有7個一。
4. 合起來，37 = 30 + 7 = 3 × 10 + 7 × 1。

反向檢查：把30個一和7個一合在一起，得到37個一，與原數一致。

圖1中的每一條藍色長條由10個單位方格的長度組成，橘色小方塊各代表1。這是把同一個數量換成另一種表示法；不是因為藍色比較深，所以它的數值較大。

例題2 4052中的0做了什麼

問題：把4052按位值展開，並說明百位的0。

1. 千位是4，代表4 × 1000 = 4000。
2. 百位是0，代表0 × 100 = 0。
3. 十位是5，代表5 × 10 = 50。
4. 個位是2，代表2 × 1 = 2。
5. 所以4052 = 4000 + 0 + 50 + 2。

百位沒有百的數量，並不表示可以把那個位置刪掉。刪掉中間的0後，4052變成452；此時4移到百位，表示400，而不再是4000。

反向檢查：4000 + 50 + 2 = 4052；400 + 50 + 2 = 452。兩個結果不同，因此刪除這個0會改變數值。

例題3 比較3080與3008

問題：哪個數較大？先不要用直覺猜。

1. 兩個數都有3個千，千位相同。
2. 兩個數的百位都是0，百位也相同。
3. 比到十位時，3080有8個十，3008有0個十。
4. 個位最多只有9個一，不足以抵消8個十的差距，因此3080較大。

也可以拆成共同部分再看：3080 = 3000 + 80，3008 = 3000 + 8。共同的3000相同，比較80與8即可，得到3080 > 3008。

1.3 表示法可以換，對應關係要留下

37可以表示為37個小點、3條十位積木加7個小方塊、位值表，或式子30 + 7。換表示法時，要先說明一個圖形單位代表多少。

如果把一個圓點原本代表1，改成代表10，卻沒有更改圖說，同一張圖就可能被讀成不同的數量。圖示的大小、顏色或位置都不能自行決定數值；它們的數學意義來自明示的對應。

本章的位值積木按大小比例製作，但後面的圖未必都能按真實尺寸畫。每次都要讀圖說與標記，而不是只看圖形長相。

1.4 三個常見錯誤

• 把「6308的百位數字是3」說成「百位的位值是3」。數字是3，這一項對整個數的貢獻是300。
• 以為0沒有數量，所以寫在哪裡都能刪。4052和452的差別，就是其他數字的位置被改變了。
• 把數量和單位混在一起。8顆不會只因為數字相同，就變成8公斤。

1.5 練習

先寫出理由，再看解答。這裡的編號也會保留在本冊後續修訂中。

1. B01-C01-Q01：填空：47 = □ × 10 + □ × 1。
2. B01-C01-Q02：6308的百位數字是多少？百位這一項的位值是多少？
3. B01-C01-Q03：比較4002和402，寫出大於或小於關係，並用位值說明。
4. B01-C01-Q04：200 + 30 + 9表示哪一個數？
5. B01-C01-Q05：6個十可以換成多少個一？
6. B01-C01-Q06：依本冊的慣例，0、5、10哪些是自然數？
7. B01-C01-Q07：已知有8顆蘋果，可以只根據這句話斷定總質量是8公斤嗎？
8. B01-C01-Q08：一個數有5個百、0個十、7個一。寫出這個數，再說明為什麼不能把十位的0刪掉。

1.6 完整解答

Q01

47的十位是4，個位是7，所以47 = 4 × 10 + 7 × 1。檢查：40 + 7 = 47，兩個空格依序是4、7。

Q02

6308 = 6 × 1000 + 3 × 100 + 0 × 10 + 8。百位數字是3，百位這一項的位值是3 × 100 = 300。不要把數字符號與它所在位置的貢獻混為一談。

Q03

4002有4個千，402只有4個百，所以4002 > 402。展開後分別是4000 + 2與400 + 2，兩者不能因為都用了4、0、2就視為相同。

Q04

200是2個百，30是3個十，9是9個一，所以合成239。反向展開239 = 200 + 30 + 9，與題目一致。

Q05

每個十可以換成10個一。6個十就是10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10，合計60個一，因此答案是60。

Q06

依本冊明示的慣例，0、5、10全都是自然數。這題檢查的是是否先讀定義，不是在要求所有書都必須採同一慣例。

Q07

不能。8顆只指定物件個數，沒有提供每顆的質量。只有在另外知道總質量，或知道各顆的質量並相加後，才能得出以公斤表示的結果。

Q08

這個數是507，因為500 + 0 + 7 = 507。刪掉十位0會得到57，這時5代表5個十而不是5個百，數值由507變成57，所以不能刪。

1.7 本章回顧

數字是表示數的符號；位值由數字與位置共同決定。0既可以是一個數，也能在寫數時保留某個沒有數量的位置。換成圖、表或文字時，明確保留「一個單位代表什麼」，才能確定自己仍在談同一個數量。

下一章會使用「1個十可以換成10個一」的規則，理解加法的進位與減法的換位。