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第2章 加減與數線

加法可以描述把兩個數量合起來，減法可以描述拿走一部分，也可以描述兩個數量相差多少。這三種情境有關聯，但題目不一定都畫成「拿走東西」。先說清楚正在求什麼，再決定怎樣算。

本章讀完，你應能用數線說明加減，把進位或減法換位解釋成數量不變的重新分組，並用反向運算檢查結果。

2.1 加法是在合併什麼

假設盒裡原有28顆珠子，又放入17顆，而且珠子沒有重複計數，也沒有遺失。現在的總數是28 + 17。

在數線上，先站在28，再往右移17個單位，會到達同一個答案。數線的位置表示數值，移動的長度表示變化量；這兩種標記不要混淆。

例題1 計算28 + 17

方法一：把第二個加數拆開。

1. 17 = 10 + 7，所以先加10，再加7，總共仍是加17。
2. 28 + 10 = 38。
3. 38 + 7 = 45。
4. 所以28 + 17 = 45。

方法二：按位值合併。

1. 28 = 20 + 8，17 = 10 + 7。
2. 把十與十、一與一合併，得到30個一加15個一。
3. 15個一可以換成1個十和5個一。
4. 原先3個十再加這1個十，共4個十，另有5個一，所以是45。

這就是進位的數量理由。寫直式時，個位的「進1」是進了1個十，不是隨意多加1個一。

反向檢查：如果45顆是合併後的數量，拿走後放入的17顆，應回到28顆。45 − 17 = 28，與原先數量一致。

2.2 減法可以是拿走，也可以是差

「52顆拿走28顆，剩下多少？」與「從28增加多少才到52？」都在找同一個差。若找到24，便應滿足28 + 24 = 52。

本章先處理非負整數，且減去的數不大於原數。像5 − 8這樣的問題，會在第4章引入負數時繼續處理；這裡不把它誤說成「數學上不能算」。

例題2 計算52 − 28

52原本是5個十和2個一。個位的2個一不夠直接拿走8個一，我們可以先重新分組。

1. 從5個十中拿出1個十，換成10個一。
2. 十的數量由5個變成4個；一的數量由2個變成12個。
3. 所以52 = 40 + 12。這一步只換分組，沒有增加或減少總量。
4. 28是2個十和8個一。從4個十拿走2個十，剩2個十；從12個一拿走8個一，剩4個一。
5. 剩下20 + 4 = 24，因此52 − 28 = 24。

在直式裡，常把這個過程稱為「借位」。但這裡沒有向外借來額外數量，也沒有東西尚待歸還；它是把自己的1個十換成10個一。

反向檢查：28 + 24 = 28 + 20 + 4 = 48 + 4 = 52。拿走的28與剩下的24合起來，正好回到原數。

2.3 用缺少的一段理解差

有些減法不必先寫直式。若兩個數很接近，找「還差多少」可能更清楚。

例題3 36再加多少會等於64

問題：36 + □ = 64。

1. 先從36補到40，需要4。
2. 再從40補到64，需要24。
3. 兩段合起來，需要4 + 24 = 28。
4. 因此空格是28，也就是64 − 36 = 28。

檢查：36 + 28 = 36 + 20 + 8 = 56 + 8 = 64。

方框只是暫時空著的位置，不表示它可以任意填數。本題要找的是加到36後恰好得到64的數。

2.4 加減的反向關係

如果a + b = c，那麼從c拿走b會留下a，從c拿走a會留下b。在本章的非負整數範圍裡，這兩個減法都符合「減去的數不大於原數」的條件。

這給我們三個彼此連接的式子：

28 + 17 = 45；45 − 17 = 28；45 − 28 = 17。

檢查時不一定要重做同一套步驟。若原先用直式加法，便可以用減法或分組加法檢查，減少把同一個錯誤再做一次的機會。

但「我又算了一次也一樣」不是所有情況下都可靠。如果兩次都把十位當成個位，結果還是可能一樣錯。檢查必須注意單位與每一步的意思。

2.5 三個常見錯誤

• 在52 − 28裡，看到2比8小，就改算8 − 2。這改變了原問題；正確做法是保留原數，重新分組。
• 把1個十換成10個一之後，忘了十位少了1個十。52變成40 + 12，不是50 + 12。
• 數線上的標記沒有等距，卻直接由圖形長度判斷數值。本章數線按刻度作圖，其他圖仍須看標記。

2.6 練習

1. B01-C02-Q01：計算19 + 26，寫出至少一種拆分方法。
2. B01-C02-Q02：計算47 + 38，說明個位進位代表什麼。
3. B01-C02-Q03：計算63 − 27，寫出重新分組後的數。
4. B01-C02-Q04：計算80 − 46，說明0個一如何處理。
5. B01-C02-Q05：填空：□ + 18 = 50，並回代檢查。
6. B01-C02-Q06：填空：52 − □ = 29，並用加法檢查。
7. B01-C02-Q07：有人計算52 − 28時，說「十位5 − 2 = 3，個位改成8 − 2 = 6，所以答案36」。指出錯在哪裡，並算出正確答案。
8. B01-C02-Q08：有人說37 + 28 = 55。用反向運算判斷，再寫出正確結果。

2.7 完整解答

Q01

把26拆成20 + 6。19 + 20 = 39，再加6得到45，因此19 + 26 = 45。檢查：45 − 26 = 19。

Q02

47 + 38 = (40 + 30) + (7 + 8) = 70 + 15。15個一換成1個十和5個一，因此是80 + 5 = 85。「進1」表示把10個一換成1個十。

Q03

63 = 50 + 13。拿走27時，從50拿走20剩30，從13拿走7剩6，所以63 − 27 = 36。檢查：27 + 36 = 63。

Q04

80是8個十、0個一。把1個十換成10個一，得到70 + 10。再拿走40 + 6，剩30 + 4 = 34。檢查：46 + 34 = 80。

Q05

從18增加到50，差是50 − 18 = 32，所以空格填32。回代：32 + 18 = 32 + 10 + 8 = 42 + 8 = 50。

Q06

拿走的數量加上剩下的29，應得到原來的52，因此要找29 + □ = 52。52 − 29 = 23，空格填23。檢查：29 + 23 = 52，所以52 − 23 = 29。

Q07

錯在為了讓個位較大的數減較小的數，擅自把2 − 8換成8 − 2。應把52重新分成40 + 12，再拿走20 + 8，得到20 + 4 = 24。檢查28 + 24 = 52；若用錯誤答案36，28 + 36 = 64，不能回到52。

Q08

若55是正確總和，55 − 28應等於37。但55 − 28 = 27，不是37，因此原說法錯誤。正確計算是37 + 20 + 8 = 57 + 8 = 65；再檢查65 − 28 = 37。

2.8 本章回顧

進位與減法換位都在使用位值規則重新分組。它們改變的是表示方式，不是原有總量。加法可以用減法檢查，減法也可以用加法檢查；兩種表示必須指向同一個數量關係。

下一章會把「多個相同數量相加」整理成乘法，再用乘法理解分組與除法。