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第5章 分數與等值
一個整體可以分成幾份，每份又可以繼續等分。但說「拿了兩份」還不夠：我們必須知道原來的整體是什麼、總共分成幾份，以及各份是否相等。
本章讀完，你應能解釋分子與分母，辨認等值分數、假分數及帶分數，並在分母為正的約定下比較分數。
5.1 分數先固定一個整體
把一條長帶當作1，平均分成4份，每份是1/4，取其中3份就是3/4。分母4說明單位整體被等分成4份；分子3說明取了這種份數中的3份。
「等分」很重要。若把長帶分成4段但長短不同，就不能只因為段數是4，把任一段都叫作這條長帶的1/4。
另外，兩個分數圖只有在整體一致或單位換算清楚時，才能直接比較實際數量。一個大蛋糕的1/2可能比一個小蛋糕的3/4多；但在同一個單位整體下，1/2這個數小於3/4。
5.2 分子、分母與數的表示
一般可把分數寫成a/b，其中a、b是整數，b不能是0。本冊通常把分母取正；若分母原本是負數，可以把分子與分母同乘−1，讓負號移到分子。
例如1/(−3) = (−1)/3。這兩個寫法表示同一個有理數。圖示先從非負數量開始，不表示所有分數都必須是正數。
分母不能是0，因為a/b同時涉及除以b的意義。把一個整體「平均分成0份」不能提供通常分數所需的單位份量；前一章與第3章的除數資格仍要保留。
例題1 用同一整體表示3/4
- 先固定整條長帶代表1。
- 平均分成4份，所以每份是1/4。
- 取3份，得到1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4。
- 如果每一份再等分成2小份，整條長帶變成8小份，原來取的部分變成6小份。
- 取到的實際長度沒有改變，因此3/4 = 6/8。
反向檢查：把8小份每2份合成一大份，6小份就回到3大份，整體也回到4大份。
5.3 等值分數與約分
在分母非零的條件下，分子與分母同乘一個非零整數，不改變分數的值。用正整數作細分時，這件事可以直接看成每一份又被等分。
反過來，若分子、分母有共同的非零整數因數，也可以同除以它，得到等值分數，這稱為約分。約分前後，原有分母都不能是0。
例題2 把6/8約分，再比較幾種一半
- 6 = 2 × 3，8 = 2 × 4。
- 分子與分母都有共同因數2，把兩者同除以2，得到6/8 = 3/4。
- 這裡3和4沒有大於1的共同正因數，所以已經是最簡分數。
- 同樣，2/4把分子、分母同除以2，會得到1/2；3/6同除以3，也得到1/2。
所以1/2 = 2/4 = 3/6。分子與分母的數字可以不同，表示的數卻相同。
不能只改分子或只改分母。例如1/2變成2/2，取到的部分從一半變成全部，已經不是原數。
5.4 超過一個整體與帶分數
分數不必小於1。7/4表示7個四分之一，其中4個四分之一能合成1個整體，還剩3個四分之一，因此7/4 = 1 + 3/4，常寫成帶分數「1又3/4」。
這裡「1又3/4」代表相加，不是1乘3/4。把它還原成假分數時，1個整體要先換成4個四分之一，連同原來的3個，共7個四分之一。
只寫「又」而不說明運算，對剛開始學習的人可能不清楚。因此本書在推導裡會優先寫1 + 3/4，再對照帶分數的讀法。
5.5 分數如何比較
在整體相同、分母相同且為正時，每份大小相同，分子較大的分數就較大。若分母不同，先把它們改寫成相同大小的份。
例題3 比較2/3與3/5
- 兩個分母3和5都為正，先採共同分母15。
- 2/3的分子與分母同乘5，得到10/15。
- 3/5的分子與分母同乘3，得到9/15。
- 現在每份都是同一整體的1/15；10份比9份多，所以2/3 > 3/5。
也可核對交叉乘積：2 × 5 = 10，3 × 3 = 9，10 > 9。這個比較方向使用了分母為正的條件；不要省略條件後，任意套到帶負分母的寫法上。
5.6 常見錯誤
- 只數圖被切成幾塊，沒有檢查各塊是否等大。
- 比較不同大小整體上的塗色，卻把實際物件大小與抽象分數大小混為一談。
- 以為分母越大，分數一定越大。分子同為1時，分母越大，每份反而越小。
- 約分時只除分子或只除分母，改變原有數值。
5.7 練習
- B01-C05-Q01：同一長帶平均分成5份，取2份，應寫成哪個分數？
- B01-C05-Q02：把4/6約成最簡分數。
- B01-C05-Q03：把3/5改寫成分母20的等值分數。
- B01-C05-Q04：把11/4寫成整數加真分數，再寫成帶分數的讀法。
- B01-C05-Q05：把2 + 1/3寫成一個分數。
- B01-C05-Q06：比較3/4與5/8，說明你的共同分母。
- B01-C05-Q07：一個整體被分成4塊但大小不一，取其中一塊就一定是1/4嗎？
- B01-C05-Q08：1/0可以當作通常的分數嗎？說明分母的資格。
5.8 完整解答
Q01
每份是同一整體的1/5，取2份就是1/5 + 1/5 = 2/5。分母記錄總共等分成5份，分子記錄取了2份。
Q02
4和6都能被2整除，所以分子、分母同除以2，得到4/6 = 2/3。2與3沒有大於1的共同正因數，因此2/3是最簡分數。
Q03
5要乘4才變成20，所以分子3也乘4，得到12。於是3/5 = 12/20，不能只把分母換成20而仍保留分子3。
Q04
11個四分之一裡，8個四分之一是2個整體，還有3個四分之一，因此11/4 = 2 + 3/4，讀作「2又3/4」。檢查2 × 4 + 3 = 11。
Q05
2個整體是6個三分之一，再加1個三分之一，共7個三分之一。因此2 + 1/3 = 7/3。
Q06
採共同分母8，3/4 = 6/8，而5/8不必改寫。因為6/8 > 5/8，所以3/4 > 5/8。
Q07
不一定。通常的1/4要求整體被分成4個等大的份；僅有4塊這個資訊，不足以知道每塊都佔相同份量。
Q08
不可以。通常分數a/b要求b不等於0。1/0會涉及除以0，不能提供這裡所使用的分數值，也不能擅自指定為0或無窮大。
5.9 本章回顧
分數的關鍵是先固定整體，再說明等分方式。分子、分母同乘或同除合格的數，能改變表示法而不改變數值。下一章會利用等值分數，推導分數的加減乘除。