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第3章 乘除與四則次序
如果每盒都有6枝筆，4盒共有多少枝？你可以把6連續加4次，也可以把這種重複結構寫成乘法。反過來，若有一堆筆，每4枝裝一袋，除法可以描述能裝滿幾袋以及還剩多少枝。
本章讀完，你應能把分組問題寫成乘除關係，檢查整數商與餘數，並按括號與運算次序解讀四則式子。
3.1 乘法先說清楚哪個是組數
本章把a × b先讀成「a組，每組b個」，其中a和b是非負整數。於是4 × 6表示4組，每組6個。
這是一種閱讀約定，不是說交換因子的計算結果就不同。把4排、每排6個方塊改成6排、每排4個，總個數仍是24；但題目中的「盒數」與「每盒枝數」仍各自有不同角色。
例題1 4盒筆，每盒6枝
問題：4盒筆，每盒恰有6枝，共有多少枝？
- 先確認各盒枝數相同，且沒有重複計數。
- 每盒6枝，4盒就是6 + 6 + 6 + 6。
- 先合併兩盒，6 + 6 = 12；另外兩盒也有12。
- 合起來12 + 12 = 24，所以4 × 6 = 24。
- 單位是枝筆，不是4盒乘6枝後寫成24盒。
檢查：24枝若重新平均裝回4盒，每盒有6枝，與題目相符。
3.2 除法的兩種常見問題
「24枝筆平均分給4人，每人幾枝？」是已知組數，求每組數量。
「24枝筆每4枝裝一袋，可裝幾袋？」是已知每組數量，求組數。
兩題都可以算24 ÷ 4 = 6，但答案的單位不同：第一題是每人6枝，第二題是6袋。式子相同不表示情境角色也相同。
若要把a個物件分成每組b個，本節要求b是正整數。找出的整數商q和餘數r要同時滿足：
a = q × b + r = b × q + r，而且0 ≤ r < b。
這裡q是組數，b是每組的個數。q × b依本章約定表示q組、每組b個；利用乘法交換律，也可寫成常見的b × q。
第一個條件把物件總數接回原來的a；第二個條件表示剩下的物件不足以再裝滿一組。
例題2 29顆，每4顆裝一袋
問題：29顆糖，每4顆裝滿一袋，可裝滿幾袋，還剩幾顆？
- 7袋、每袋4顆，需要7 × 4 = 28顆；利用乘法交換律，也可寫成4 × 7 = 28顆。
- 29顆拿走28顆，剩29 − 28 = 1顆。
- 這1顆不足以再裝滿一袋，因為1 < 4。
- 所以可裝滿7袋，餘1顆，寫成29 ÷ 4 = 7餘1。
- 回接原數：4 × 7 + 1 = 28 + 1 = 29。
為什麼不能寫成6餘5？雖然4 × 6 + 5 = 29，但剩下5顆仍能再裝滿一袋，因此不符合餘數必須小於4的規則。
這裡採「整數商與餘數」的表示法。若允許把物件切分，除法也可以用分數表示；那是後面的章節，不要把兩種答案混寫成同一種情境。
3.3 有0時先檢查什麼
0組物件的總數是0，每組有0個物件的總數也是0，所以在這裡的非負整數運算中，0 × a = a × 0 = 0。
但除以0不是一般除法。
- 12 ÷ 0若有通常意義的商q，就應滿足0 × q = 12。可是0乘任何這裡的數都是0，因此找不到這種q。
- 0 ÷ 0若有唯一的商，就應能由0 × q = 0選出一個q。但q取0、1、2等數都符合這個乘法式，不能選出唯一值。
兩種情況失敗的理由不同：一種找不到，一種不能唯一決定。因此，一般四則運算不定義除以0，也不把12 ÷ 0直接寫成無窮大。
3.4 括號與運算次序
一個式子有多種運算時，本章採通常的次序：
- 先處理括號內的運算，內層括號先算。
- 再處理乘法與除法；同一層由左到右。
- 最後處理加法與減法；同一層由左到右。
這個次序讓同一個寫法有一致的讀法。如果想指定別的分組，就用括號寫出來，不要默默改變它。
例題3 計算18 − 3 × (2 + 1)
- 先算括號：2 + 1 = 3。
- 原式變成18 − 3 × 3。
- 先做乘法：3 × 3 = 9。
- 最後做減法：18 − 9 = 9。
- 所以18 − 3 × (2 + 1) = 9。
如果先算18 − 3，就把本來的式子讀成了(18 − 3) × (2 + 1)。這是另一個式子，不是原式的合法下一步。
同一層運算也要保留方向
8 ÷ 2 × 2只有乘除，按左到右是先算8 ÷ 2 = 4，再算4 × 2 = 8。不能自行改成8 ÷ (2 × 2)；後者的值是2，與原式不同。
同樣，15 − 6 − 4按左到右是9 − 4 = 5，不是15 − (6 − 4)。括號改變分組，也可能改變結果。
3.5 常見錯誤
- 把乘法寫成重複相加，卻漏了一組。4組每組6個，要有4個6相加，不是只寫6 + 6 + 6。
- 只檢查a = b × q + r，忘了檢查餘數範圍。6餘5不能作為29除以4的標準整數商餘數。
- 以為乘法永遠比除法先，或加法永遠比減法先。這兩對各自同級，沒有括號改變分組時按左到右。
- 只寫出數字答案，卻把袋、枝、顆等單位寫成另一種意思。
3.6 練習
- B01-C03-Q01：5組物件，每組4個，共有多少個？
- B01-C03-Q02：依本章的閱讀約定，把3 × 7寫成重複相加，再求值。
- B01-C03-Q03：32枝筆平均分給4人，每人幾枝？請用乘法檢查。
- B01-C03-Q04：31顆糖每4顆裝一袋，可裝滿幾袋、餘幾顆？檢查兩個商餘數條件。
- B01-C03-Q05：計算6 + 2 × 5。
- B01-C03-Q06：計算(6 + 2) × 5，並與上一題比較。
- B01-C03-Q07：計算8 ÷ 2 × 2，說明為什麼不能默默加上另一種括號。
- B01-C03-Q08：12 ÷ 0與0 ÷ 0，為什麼都不能當成一般四則運算？兩種理由有何不同？
3.7 完整解答
Q01
5組、每組4個，就是4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20，因此5 × 4 = 20，共20個。若重新分回5組，每組應回到4個。
Q02
3 × 7表示3組，每組7個，所以是7 + 7 + 7。先算前兩組14，再加第三組7，得到21，因此3 × 7 = 21。
Q03
32 ÷ 4 = 8，每人8枝。檢查：4人每人8枝，4 × 8 = 32枝，全部分完，餘數是0。
Q04
4 × 7 = 28，31 − 28 = 3，因此可裝滿7袋，餘3顆。第一個條件是31 = 4 × 7 + 3；第二個條件是0 ≤ 3 < 4。兩個都符合，所以商餘數合格。
Q05
先算乘法2 × 5 = 10，再算6 + 10 = 16。因此答案是16，不是先算6 + 2後得到的40。
Q06
這次括號明確指定先算6 + 2 = 8，再算8 × 5 = 40。因此本題40與上一題16不同；差別來自括號指定的分組。
Q07
同級乘除按左到右：8 ÷ 2 = 4，4 × 2 = 8。若寫成8 ÷ (2 × 2)，括號要求先算分母中的2 × 2，結果會變成8 ÷ 4 = 2，所以那不是原式的下一步。
Q08
12 ÷ 0需要找出滿足0 × q = 12的商，但不存在這種非負整數q。0 ÷ 0的乘法條件0 × q = 0則有許多q都符合，不能唯一決定商。因此兩者在通常四則運算中都不定義，不能任意指定為0、1或無窮大。
3.8 本章回顧與下一步
乘法把相同組的相加整理成簡潔式子。除法要先看是在問每組數量還是組數，並保留答案單位；有餘數時，同時檢查總數等式與餘數範圍。四則次序決定怎樣讀式子，改括號就是改分組。
前三章到這裡已建立位值、重新分組與基本四則。後續第4章會正式處理整數與負數，再進入分數、小數、比例、冪與平方根。