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第9章 冪、平方根與實數初識

重複相加可以用乘法表示，重複相乘則可以用冪表示。但平方與平方根不是只看符號長得相反，就能任意互相消去；正負號、括號與所求對象仍然重要。

本章讀完，你應能解讀自然數指數，區分主平方根與方程式的解，並用明確的上下界說明平方根的近似值。

9.1 冪是在重複乘什麼

2³表示3個2相乘：2 × 2 × 2 = 8。底數是2，指數是3；不是2乘3，也不是3個2相加。

對正整數n，aⁿ表示n個a相乘。本章採通常約定：當a不等於0時，a⁰ = 1，讓乘上零次方不改變原有冪的乘法關係。本章不處理0⁰；其他數學情境可能另有約定，不能只靠這裡的非零底數規則斷定它。

0的正整數次方則是0，因為重複乘積中包含0。本章先不討論負指數或複數平方根。

例題1 計算2³ × 2²

1. 2³是3個2相乘，2²是2個2相乘。
2. 合在一起共有5個2相乘。
3. 因此2³ × 2² = 2⁵。
4. 依次計算2、4、8、16、32，得到2⁵ = 32。

這說明同底數冪相乘時，指數相加的來源；不是把底數也一起加起來。

有括號時，先看底數到底是什麼。(−3)² = (−3) × (−3) = 9；但依通常運算記法，−3²表示−(3²) = −9。沒有括號時，冪先於前面的負號作用，兩個寫法不同。

9.2 平方可以連到面積

3²是3 × 3，可以用邊長3個長度單位的正方形表示，其面積為9個面積單位。邊長4的正方形則有4 × 4 = 16個面積單位。

長度與面積的單位不同。邊長3公尺，面積是9平方公尺，不能寫成9公尺。對負數作平方時，負號屬於數的運算；不是把物理邊長畫成負長度。

9.3 主平方根只取非負的一個

若a是非負實數，√a表示平方後等於a的非負數，稱為主平方根。於是√9 = 3，而不是同時把3與−3都放進這一個函數值。

但如果問題是「哪些數的平方等於9」，3和−3都符合。根號所表示的一個值，與方程式可能有幾個解，是不同問題。

例題2 求√25，再解x² = 25

1. 5 × 5 = 25，且5不為負，所以√25 = 5。
2. (−5) × (−5)也等於25，因此−5同樣符合方程式x² = 25。
3. 方程式的兩個實數解是5與−5，但主平方根的值仍只有5。
4. 回查兩個候選值，各自代入平方，都會得到25。

還要排除其他解，不能只因試中兩個數就宣稱沒有別的。非負數越大，平方也越大，所以除5之外沒有另一個非負數平方為25。若x為負，正數−x的平方也必須是25，因而−x只能是5，x只能是−5。這才把兩種符號的實數情況都涵蓋。

同樣，√[(-6)²] = √36 = 6，不是−6。對實數a，平方後再取主平方根會得到|a|，因為主平方根保留非負值，不保留原來的負方向。

9.4 精確符號與有限近似

不是每個平方根都能在紙上寫成簡短的整數或有限小數。√2表示非負、平方等於2的數；若需要有限精度，可以保留精確符號，同時給出可檢查的近似範圍。

本冊在數線上使用這些實數作計算與比較；實數的嚴格完備性背景留到後續分析冊，不把小數算出幾位當成那套理論的證明。

例題3 用上下界近似√2

1. 先計算1.414²，得到1.999396，小於2。
2. 再計算1.415²，得到2.002225，大於2。
3. 這兩個候選數都是非負數；在非負數範圍內，平方會隨數值增加而增加。
4. 因此1.414 < √2 < 1.415。
5. 若依第7章的規則保留到小數點後兩位，√2取近似值1.41；它還沒到會進成1.42的分界1.415。

不能寫成√2 = 1.414，因為1.414的平方不等於2。多算幾位可以縮小近似誤差，但精確符號與有限近似的角色仍要分開。

9.5 平方不任意穿過加號

(2 + 3)²要先算括號得到5，再平方得到25。2² + 3²則是4 + 9 = 13，兩者不相等。

同樣，√9 + √16 = 3 + 4 = 7，而√(9 + 16) = √25 = 5。把分開的根號合成一個根號，並不是通常有效的加法規則。

這些數值反例足以推翻「對所有合格數都能任意這樣改寫」的說法，但不表示沒有任何特定數值會碰巧相同。反例要對準原命題的範圍。

9.6 練習

1. B01-C09-Q01：求3⁴，寫出重複乘積。
2. B01-C09-Q02：比較(−4)²與−4²的值。
3. B01-C09-Q03：依本章約定，5⁰是多少？這能直接決定0⁰嗎？
4. B01-C09-Q04：求√81。
5. B01-C09-Q05：求√[(-6)²]，注意主平方根。
6. B01-C09-Q06：解x² = 16，並與√16比較。
7. B01-C09-Q07：計算(2 + 3)²與2² + 3²，判斷能否直接去掉括號。
8. B01-C09-Q08：利用1.414 < √2 < 1.415，把√2依第7章規則保留到小數點後兩位。

9.7 完整解答

Q01

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3。前兩個3相乘得9，再乘3得27，再乘3得81，所以答案是81。

Q02

(−4)² = (−4) × (−4) = 16；−4²表示−(4 × 4) = −16。括號決定負號是否包含在被平方的底數中。

Q03

5不為0，所以依本章約定5⁰ = 1。這條規則有非零底數的條件，不能直接拿來決定本章未處理的0⁰；要另外查明情境和約定。

Q04

9² = 81，且9是非負數，所以√81 = 9。雖然−9平方也得到81，它不是主平方根的非負值。

Q05

先算(−6)² = 36，再取主平方根，得到√36 = 6。結果也等於|−6|，不會回到原來的負數。

Q06

4² = 16，(−4)² = 16，所以4與−4都符合方程式。再依例題2的方法排除其他實數解：若0 ≤ x < 4，則x² < 16；若x > 4，則x² > 16。因此非負解只有4。若x < 0，非負數−x的平方也等於16，所以−x = 4，得到x = −4。這便涵蓋全部實數情況，實數解恰為4與−4。√16則只等於非負的4；不要把函數值寫成兩個數。

Q07

(2 + 3)² = 5² = 25；2² + 3² = 4 + 9 = 13。兩個結果不同，因此不能用分開平方直接取代括號內和的平方。

Q08

√2已大於1.414，但嚴格小於1.415。保留到百分位時，進成1.42的分界是1.415；本題尚未到分界，因此√2 ≈ 1.41。這是近似，不是精確等式。

9.8 本章回顧

冪記錄重複相乘，括號決定底數，主平方根則保留非負值。方程式的解與根號函數值要分開，近似數也不能冒充精確值。最後一章會把整數、分數、小數、比例與冪根整合成完整問題。