v0.2 · 網站閱讀版
第7章 小數、百分率與近似
小數與百分率不只是換一個符號。小數沿用十進位的位值規則，百分率則把比較的基準改寫成每100份。當答案只能保留有限位數，還要分清精確值與近似值。
本章讀完，你應能互換基本分數、小數及百分率，找出百分率對應的基準量，並說明非負數四捨五入的誤差。
7.1 小數點右側的位置
小數點右側依序是十分位、百分位、千分位。每往右一位，單位變成前一位的十分之一。
| 小數位 | 每一單位表示 | 例子 |
|---|---|---|
| 十分位 | 1/10 | 0.3 = 3/10 |
| 百分位 | 1/100 | 0.07 = 7/100 |
| 千分位 | 1/1000 | 0.005 = 5/1000 |
0.30 = 30/100 = 3/10 = 0.3。這裡刪去末尾的0沒有改變其他數字的位值；與4052中間的0不能刪，是不同的情況。
例題1 把0.375改成分數
- 0.375 = 3/10 + 7/100 + 5/1000。
- 通分到千分之一，得到300/1000 + 70/1000 + 5/1000 = 375/1000。
- 分子、分母同除以125，得到3/8。
- 所以0.375 = 3/8，這是精確相等，不是近似。
檢查：3 ÷ 8 = 0.375，而0.375 × 8 = 3，能回到原分子。
7.2 有限位數不一定寫得完
有些分數能用有限小數精確表示，有些不能。例如1/3 = 0.333……，其中省略號表示3無限重複，不是只寫出有限的幾個3。
若只取0.333，它精確等於333/1000，與1/3不同。兩者的差為1/3 − 333/1000 = 1/3000，是正數。因此可以寫1/3 ≈ 0.333，不能在沒有省略號的情況下把兩者寫成精確相等。
「≈」提醒讀者我們正在使用近似值。近似到哪一位、用什麼規則、容許多少誤差，都應在需要時說清楚。
7.3 百分率先找基準量
15%表示15/100，也就是0.15。它本身是一個比值；要得到實際數量，還需知道「哪個基準量的15%」。
例題2 240個物件的15%是多少
- 基準量是240個，不是15個或100個。
- 15% = 15/100。
- 所求數量為240 × 15/100。
- 先算240 × 15 = 3600，再除以100，得到36。
- 因此答案是36個物件。
另一種檢查：10%是24個，5%是12個，合起來15%是24 + 12 = 36個。
若題目改成「36佔240的百分之幾」，方向不同，應先算36/240 = 0.15，再寫成15%。
百分率的改變也要保留基準。由100降到80是減少20%；由80回到100則增加20/80 = 25%，不是增加20%。兩次計算的分母不同。
7.4 四捨五入先指定保留到哪裡
本章的四捨五入只討論非負數，採常用的「下一位小於5捨去，5或大於5進位」規則。其他情境可能使用不同的平手規則，不能只看到「取近似」就假設一律相同。
例題3 把12.746保留到小數點後兩位
- 保留兩位就是保留到百分位，先看12.74後面的下一位。
- 千分位是6，大於或等於5，因此百分位的4進成5。
- 得到近似值12.75，寫成12.746 ≈ 12.75。
- 近似值比原值大12.75 − 12.746 = 0.004。
- 保留到0.01這一格時，最近格點距離不超過半格0.005，本題0.004符合這個誤差範圍。
這不是精確等式12.746 = 12.75。若下一步需要更高精度，應盡量保留原始值，在最後需要呈現時再取近似，避免誤差累積。
7.5 常見錯誤
- 以為小數位數較多就一定較大。比較0.4與0.35時，應把0.4看成0.40，因此0.4較大。
- 把15%直接當成15倍，忘了它代表15/100。
- 算百分率卻沒有寫出分母對應的基準量。
- 把截取幾位、四捨五入與精確相等混為一談。
7.6 練習
- B01-C07-Q01：把0.125改成最簡分數。
- B01-C07-Q02：把3/5改成小數和百分率。
- B01-C07-Q03：80個物件的25%是多少？
- B01-C07-Q04：18佔60的百分之幾？
- B01-C07-Q05：依本章規則，把2.345保留到小數點後兩位。
- B01-C07-Q06：把9.96保留到小數點後一位，注意進位。
- B01-C07-Q07：比較0.4和0.35，並說明位值。
- B01-C07-Q08：只寫0.333與寫0.333……，兩者都能與1/3用精確等號連接嗎？
7.7 完整解答
Q01
0.125 = 125/1000，分子、分母同除以125，得到1/8。這是有限小數與分數的精確相等。
Q02
3/5 = 6/10 = 0.6。再改成以100為分母，得到60/100，所以百分率是60%。三個表示法是同一個比值。
Q03
25% = 25/100 = 1/4，因此80 × 1/4 = 20，答案是20個物件。基準量是80。
Q04
所求比值是18/60 = 3/10 = 0.3，所以是30%。這裡60是基準量，不能把分母與分子顛倒。
Q05
保留到百分位，下一位千分位是5，按本章的平手規則向上進位，因此2.345 ≈ 2.35。結果是近似值，不把2.345與2.35寫成精確相等。
Q06
保留到十分位，下一位是6，所以十分位的9進位。9.9加上0.1得到10.0，因此9.96 ≈ 10.0；末尾的0在這裡也表達了保留到十分位的呈現精度。
Q07
0.4 = 0.40，而40個百分之一比35個百分之一大，所以0.4 > 0.35。不能只比小數點後的「4」與「35」兩個整數。
Q08
不能把兩者都當成精確相等。0.333是333/1000，與1/3差1/3000；0.333……若明確表示3無限重複，才是1/3的精確小數表示。有限近似應用「≈」。
7.8 本章回顧
小數、分數與百分率可以表示同一個數，但百分率應明示基準量，有限小數也可能只是近似。下一章會把比例、變化率與單位換算放在一起處理，檢查算式裡每個數量的角色。