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第4章 整數、零與大小

如果只用0、1、2、3……，就無法把「低於零度3度」直接寫成一個帶方向的溫度數值。整數把數線延伸到0的另一側，讓我們能用同一套加減法處理相反方向。

本章讀完，你應能比較正負整數、解釋絕對值，並說明帶符號的加減乘除為什麼要保留括號和運算角色。

4.1 負號、減號與相反數

在−3裡，負號是這個數的表示的一部分；在5 − 3裡，減號表示一個運算。同一種符號出現在不同位置，可以有不同角色。

整數依大小排列為……、−3、−2、−1、0、1、2、3、……。0不是正數，也不是負數。數線越往右，數值越大；越往左，數值越小。

3和−3到0的距離相同，方向相反，彼此稱為相反數。0的相反數仍是0，因此−0 = 0，不是另一個不同的整數。

實際情境還要說明方向的意思。若正數代表存入，負數可代表支出；若正數代表向東，負數可代表向西。不能只因為兩個情境都使用負號，就把它們的單位或方向混在一起。

例題1 比較−7與−2

1. 在數線上，−7比−2更靠左。
2. 按數線大小規則，較靠左的數較小。
3. 因此−7 < −2。
4. 若問的是到0的距離，−7距離0有7格，−2距離0有2格；這是另一個問題。

反向檢查：從−7往右移5格會到−2，所以−2 − (−7) = 5是正數，與−2較大一致。

4.2 絕對值不是把所有負號隨意刪掉

一個數的絕對值表示它到0的距離，用兩條直線記作|a|。例如|−7| = 7、|2| = 2、|0| = 0。

絕對值不會是負數，但「絕對值較大」不一定表示「原數較大」。例題1中，|−7| > |−2|，原數卻是−7 < −2。

如果一個式子外面有絕對值，應先知道裡面的值，再求它到0的距離。例如|2 − 5|要先算出−3，所以結果是3；不能把它默默改成|2| − |5|，因為後者等於−3。

4.3 用方向理解加法

加上正數，在數線上向右移；加上負數，向左移。這是對數值變化的描述，不表示題目一定涉及真的走路。

例題2 計算−3 + 8，再看減去負數

1. 從−3出發，往右移8格。
2. 先移3格到0，還剩5格。
3. 再往右移5格，到達5。
4. 所以−3 + 8 = 5。

檢查：從結果5往左移8格，會回到−3，因此5 − 8 = −3。

減去一個數，可以理解成加上它的相反數。於是−4 − (−3) = −4 + 3 = −1。括號讓我們看清楚，減去的是整個數−3，不是兩個互不相干的符號。

再回查：結果−1加上剛才減去的−3，得到−1 + (−3) = −4，能回到原數。

4.4 乘除的符號怎麼來

先回到同組分配的情境：3組中，每組有2個和1個，總量可先合成3 × (2 + 1)，也可分別算3 × 2與3 × 1再相加。兩者都得到9。

把這條規則寫成a × (b + c) = a × b + a × c，稱為分配律；字母代表所討論範圍的數。擴展到整數運算時，仍保留分配律與乘法交換律。

在保留這些規則的前提下，正數乘負數會得到負數。例如3 × (−2)應為−6，因為：

3 × [2 + (−2)] = 3 × 0 = 0；而分配後是6 + 3 × (−2)，因此後一項必須是−6。

先用交換律與重複相加得到(−3) × 2 = 2 × (−3) = −3 + (−3) = −6。再看(−3) × [2 + (−2)] = (−3) × 0 = 0；按分配律展開後是−6 + (−3) × (−2)。要使這個和等於0，(−3) × (−2)便必須等於6。

這不是只背「負負得正」的口訣，而是在保留原有運算規則下，檢查符號應如何配合。除法的符號則用乘法回查，除數仍不能是0。

例題3 帶符號的乘除

1. 先用乘法交換律寫成(−4) × 3 = 3 × (−4)。右式可讀成3次相同的變化−4，得到−4 + (−4) + (−4) = −12。
2. 在同樣的分配律下，(−4) × (−3) = 12。
3. 求(−12) ÷ (−3)，就是找出乘上−3後得到−12的數。
4. 因為(−3) × 4 = −12，所以(−12) ÷ (−3) = 4。

符號檢查：同號相乘為正，異號相乘為負；除法也依相應乘法決定。若其中一個乘數是0，乘積是0，不把0分類為正數或負數。

4.5 常見錯誤

• 只比較負號後面的數字。−9比−4到0更遠，但數值更小。
• 把「減去負數」誤讀成再往左移一次。應先辨認被減去的整個數，再加它的相反數。
• 在計算時省略必要括號，例如把−4 − (−3)抄成−4 − 3。
• 把絕對值當成保留原數大小的操作。它保留到0的距離，沒有保留方向。

4.6 練習

1. B01-C04-Q01：比較−9與−4，寫出不等式。
2. B01-C04-Q02：求|−12|，並說明它與原數−12的差別。
3. B01-C04-Q03：計算−6 + 10，用經過0的移動說明。
4. B01-C04-Q04：計算5 − (−2)，並回查。
5. B01-C04-Q05：計算−3 − 8。
6. B01-C04-Q06：計算(−7) × (−2)。
7. B01-C04-Q07：計算(−18) ÷ 3，並以乘法檢查。
8. B01-C04-Q08：有人說「8 > 3，所以−8 > −3」。這個推理有什麼問題？

4.7 完整解答

Q01

−9位於−4左側，因此−9 < −4。也可從−9向右移5格到−4，確認後者較大。

Q02

|−12| = 12，表示−12到0的距離為12。原數−12帶有相對於0的方向，絕對值12沒有保留這個負方向。

Q03

從−6往右移6格到0，再移4格到4，總共往右移10格，所以−6 + 10 = 4。檢查4 − 10 = −6。

Q04

減去−2等於加上2，因此5 − (−2) = 5 + 2 = 7。回查：7 + (−2) = 5。

Q05

從−3再向左移8格，得到−11，所以−3 − 8 = −11。加回8可得−11 + 8 = −3。

Q06

兩個負數相乘，在保留分配律的整數運算下得到正數。7 × 2 = 14，所以(−7) × (−2) = 14。不要把它寫成−14。

Q07

(−18) ÷ 3 = −6。檢查：3 × (−6) = −18，與被除數一致；除數3也不是0。

Q08

它把到0的距離與原數大小混淆了。雖然8 > 3，但−8在−3左側，因此−8 < −3。負號改變方向，不能原封不動保留正數的大小關係。

4.8 本章回顧

比較整數時看數線方向；求絕對值時看離0的距離。減去一個數等於加上它的相反數，乘除的符號則要與分配律及反向乘法相容。下一章會在已知整體大小的前提下，介紹分數和等值表示。