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第6章 分數運算

把1/2條長帶與1/3條同樣長的長帶合起來，不能只把分子和分母各加一次。原因不是分數有一條難記的特殊規則，而是「二分之一」與「三分之一」原本不是同樣大小的份。

本章讀完，你應能用共同單位解釋通分，用部分中的部分解釋乘法，再用反向乘法檢查分數除法與約分。

6.1 加減之前先讓每份大小一致

同分母分數的每份大小相同，所以可直接合併或拿走份數。例如2/7 + 3/7 = 5/7，分母7不變，因為每份仍是七分之一。

不同分母時，先找共同分母，再把每一個分數改成等值表示。共同分母不必是最小公倍數，只要確實是合格的共同倍數；選得合適能讓後續計算簡潔。

例題1 計算1/2 + 1/3

1. 把同一單位整體都分成6等份。
2. 1/2 = 3/6，因為分子、分母都乘3。
3. 1/3 = 2/6，因為分子、分母都乘2。
4. 現在每份都是1/6，可以把份數相加：3/6 + 2/6 = 5/6。
5. 因此1/2 + 1/3 = 5/6。

檢查：5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2，能回到第一個加數。

若錯寫成(1 + 1)/(2 + 3) = 2/5，連結果大小都不合理：把正的1/3加到1/2上，結果應大於1/2，而2/5卻小於1/2。

6.2 減法與負分數

5/6 − 1/4可以先通分成10/12 − 3/12，得到7/12。若順序反過來，1/4 − 5/6 = 3/12 − 10/12 = −7/12。

分數的減法也保留方向，不是永遠取「較大分子減較小分子」。負分數在數線上位於0左側，與第4章的整數方向一致。

6.3 乘法是部分中的部分

乘上一個小於1的正分數，可以表示取原有數量的一部分。這與乘正整數時「有幾組」的情境不同，但運算關係能一致地延伸。

例題2 求2/3的3/4

1. 先把一個單位矩形分成3欄，取其中2欄，表示2/3。
2. 再把每欄沿另一方向等分成4列。
3. 每個小格是整體的1/12；在原有2欄裡取其中3列，共取到2 × 3 = 6格。
4. 所以(2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2。

這給出分子相乘、分母相乘的數量解釋。對有正負號的有理數，再保留已學的符號規則。例如(−2/3) × (3/4) = −1/2。

檢查：原數2/3取其中3/4，應比原數小且大於0。結果1/2符合這個大小範圍。

6.4 分數除法要保留除數非零

一個非零分數的倒數，是與它相乘得到1的數。例如2/5的倒數是5/2，因為(2/5) × (5/2) = 1。

0沒有這裡的倒數，因為0乘任何通常的有理數仍是0，不會等於1。

例題3 計算(3/4) ÷ (2/5)

1. 除數2/5不為0，有倒數5/2，而且(2/5) × (5/2) = 1。
2. 把有理數的商記作q，它必須滿足q × (2/5) = 3/4。
3. 把等式兩邊同乘5/2，得到[q × (2/5)] × (5/2) = (3/4) × (5/2)。
4. 相乘的三個因數可重新分組而不改乘積，這叫乘法的結合律。左邊可寫成q × [(2/5) × (5/2)] = q × 1 = q，因此任何合格的商都必須等於(3/4) × (5/2)。
5. 計算右邊，得到(3 × 5)/(4 × 2) = 15/8。
6. 回查：(15/8) × (2/5) = 30/40 = 3/4，確實符合商的乘法條件。
7. 任何合格商都必須是15/8，而15/8也確實合格，所以(3/4) ÷ (2/5) = 15/8，也就是1 + 7/8。

「除以非零分數，等於乘它的倒數」不是把所有分數都翻過來。只對作為除數的那個非零分數取倒數，原來的被除數3/4保持不變。

當除數是正而小於1的數，商可能比被除數大。例如本題15/8 > 3/4，這並不違反除法的意義。

6.5 約分只能消去共同因數

在(2 × 3)/(5 × 3)裡，3是分子、分母的共同因數，所以能同除以3，得到2/5。

但在(2 + 3)/3裡，分子是一個和，不是整個分子都乘了3。不能只劃掉其中的3，寫成2 + 1。原式是5/3；若逐項分開除，應寫2/3 + 3/3 = 2/3 + 1。

分數混合運算仍使用括號與四則次序。先確定整個分子、分母或除數的範圍，再進行變形。

6.6 練習

1. B01-C06-Q01：計算1/4 + 1/6，說明共同分母。
2. B01-C06-Q02：計算5/6 − 1/4。
3. B01-C06-Q03：計算(3/5) × (10/9)，並約成最簡分數。
4. B01-C06-Q04：計算(2/3) ÷ (4/5)，並用乘法檢查。
5. B01-C06-Q05：計算(−1/2) + 3/4。
6. B01-C06-Q06：計算1/2 + (1/3) × (3/4)。
7. B01-C06-Q07：0 ÷ (3/5)與(3/5) ÷ 0，哪個有通常的值？
8. B01-C06-Q08：有人把(2 + 3)/3約成2 + 1。指出錯誤並寫出正確值。

6.7 完整解答

Q01

採共同分母12，1/4 = 3/12，1/6 = 2/12。因此1/4 + 1/6 = 5/12。兩個原分母都非零，通分保持原值。

Q02

採共同分母12，5/6 = 10/12，1/4 = 3/12，因此差是7/12。回查7/12 + 1/4 = 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6。

Q03

(3/5) × (10/9) = 30/45。分子與分母同除以15，得到2/3。也可先把共同因數3與5分別約去，再相乘，但每一步都必須是在分子、分母之間消去共同因數。

Q04

除數4/5不為0，乘它的倒數5/4，得到(2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6。檢查(5/6) × (4/5) = 20/30 = 2/3，與被除數一致。

Q05

把−1/2寫成−2/4，再加3/4，得到1/4。不能只看兩個分子的大小而忽略原來的負號。

Q06

先算乘法：(1/3) × (3/4) = 3/12 = 1/4。再算1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4。

Q07

0 ÷ (3/5) = 0，因為除數3/5不為0，且0 × (3/5) = 0。但(3/5) ÷ 0涉及除以0，在通常有理數四則中不定義。兩個式子的0出現在不同位置，資格不同。

Q08

分子2 + 3是一個和，不能只把其中的3與分母消去。先合併分子得到5/3；或者逐項除以3，得到2/3 + 1，兩者相同。錯誤答案2 + 1 = 3並不等於5/3。

6.8 本章回顧

加減先統一份的大小，乘法可以看成部分中的部分，除法則檢查非零除數並用乘法回查。約分保留共同因數的結構，不能跨越加減號任意劃掉項。下一章把分數轉成十進位小數與百分率，並明確處理近似。