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第8章 比、比例與單位
本章小節
「甲有2份、乙有3份」可以寫成甲與乙的比為2:3。但甲佔總量的份額不是2/3，而是2/(2 + 3)。只差一句話，分母所指的基準就變了。
本章讀完，你應能分清部分比部分與部分比整體，使用比例求量，並在單位一致的前提下處理速率與比例尺。
8.1 先說清楚比的是誰
同類量的比，可以在統一單位後比較。例如2公尺比3公尺是2:3；若寫200公分比3公尺，必須先換成相同單位，不能直接讀成200:3。
比的次序也有意義。甲比乙是2:3，不表示乙比甲也為2:3；反過來應是3:2。
同一個比的兩項同乘或同除合格的非零數，可得到等值比。用非負數量分組時，本章採正倍率，並保留實際單位和數量限制。
例題1 甲、乙兩種飲料按2:3配成25公升
- 甲與乙合起來共有2 + 3 = 5份。
- 總量25公升分成5等份，每份是25 ÷ 5 = 5公升。
- 甲有2份，所以甲的體積是2 × 5 = 10公升。
- 乙有3份，所以乙的體積是3 × 5 = 15公升。
- 檢查總量：10 + 15 = 25；檢查比值：10:15約成2:3。
在這個模型裡，我們假定體積可直接相加。實際混合情況若不符合這個模型，要改用適當的條件，不能只因算式正確就忽略假設。
甲佔總量的比值是10/25 = 2/5；甲比乙則是10/15 = 2/3。這兩個分數回答不同問題，沒有矛盾。
8.2 比例式與相同倍率
若a/b = c/d，且b、d都非零，把等式兩邊同乘bd，可得到ad = bc。這就是常見的交叉相乘；它依賴分母非零，而不是看見四個數就任意畫叉。
在具體比例題裡，也可先找每一份或共同倍率。例如□/5 = 12/15，因為12/15 = 4/5，所以方框是4。
若題目涉及物件個數，還要檢查結果是否符合整數要求；涉及長度或體積，則應保留相應單位。
8.3 速率是兩種量之間的比
速率會把不同單位連接起來，例如公里除以小時，得到公里／小時。它不是把兩個同類物件的個數比在一起。
例題2 150公里用了2.5小時
- 平均速率按總路程除以總時間定義。
- 150 ÷ 2.5 = 60，因此平均速率是60公里／小時。
- 把時間換回檢查：2.5小時 × 60公里／小時 = 150公里。
- 這只描述整段的平均，不表示每一瞬間都以60公里／小時移動。
如果另有條件說接下來15分鐘維持這個速率，15分鐘是15/60 = 1/4小時，才可推得路程60 × 1/4 = 15公里。
不能把15分鐘直接當成15小時，也不能在沒有恆定速率條件時，把平均值當成任意一小段的確切速率。
8.4 比例尺先保持同一單位
例題3 比例尺1:50000的圖上3公分
- 比例尺1:50000表示圖上長度與模型中的地面長度之比，兩邊先用同一單位。
- 圖上1公分對應50000公分；3公分對應3 × 50000 = 150000公分。
- 每100公分是1公尺，所以150000公分 = 1500公尺。
- 每1000公尺是1公里，所以1500公尺 = 1.5公里。
回查：1.5公里 = 150000公分，再除以50000，得到圖上3公分。這是所用模型中的對應長度，不額外保證某條道路的實際行走距離。
8.5 面積單位不能只乘一次換算倍率
1平方公尺，寫作1 m²，是邊長1公尺的正方形面積。每邊1公尺都等於100公分，所以同一正方形以公分量邊，面積是100 × 100 = 10000平方公分。
因此1 m² = 10000 cm²，而不是100 cm²。兩個方向的長度都換了單位，面積的換算就要同時考慮兩個方向。數的平方會在下一章進一步討論。
同樣，遇到速率時要分別處理路程與時間。例如公分／秒改成公尺／秒，只改路程單位；若要再改成公尺／分鐘，時間單位也必須另行換算。
8.6 常見錯誤
- 把甲比乙的2:3，直接當成甲佔總量2/3。
- 沒先統一單位，就把2公尺和50公分當成2:50。
- 算出比例後，不檢查物件能否切分、結果是否必須為整數。
- 只記得長度換算倍率，把面積或速率的單位也直接照抄。
8.7 練習
- B01-C08-Q01：甲與乙的量比為3:2，總量40，求甲與乙各是多少。
- B01-C08-Q02：把4:6改成最簡整數比。
- B01-C08-Q03：求□/5 = 12/15中的方框值。
- B01-C08-Q04：2公尺35公分等於多少公分？
- B01-C08-Q05：72公里用了1.5小時，平均速率是多少公里／小時？
- B01-C08-Q06：1平方公尺等於多少平方公分？說明兩個方向的換算。
- B01-C08-Q07：比例尺1:1000的圖上4公分，對應模型中的多少公尺？
- B01-C08-Q08：甲與乙的比為2:3時，甲佔總量2/3嗎？說明正確比值。
8.8 完整解答
Q01
共有3 + 2 = 5份，每份40 ÷ 5 = 8。甲是3 × 8 = 24，乙是2 × 8 = 16。檢查24 + 16 = 40，且24:16約成3:2。
Q02
兩項同除以2，4:6 = 2:3。比值4/6與2/3相等，而不是只把其中一項改小。
Q03
12/15的分子、分母同除以3，得到4/5，因此方框是4。回查4 × 15 = 5 × 12 = 60。
Q04
2公尺是200公分，再加35公分，得到235公分。不能把2和35直接相加後寫成37公分，因為原來的單位不同。
Q05
平均速率是72 ÷ 1.5 = 48公里／小時。檢查48 × 1.5 = 72；這不額外指定任意時刻的瞬時速率。
Q06
邊長1公尺的正方形，每邊都是100公分，所以面積是100 × 100 = 10000平方公分。換算倍率出現兩次，因為面積涉及兩個長度方向。
Q07
先用公分：4 × 1000 = 4000公分。再除以100換成公尺，得到40公尺。
Q08
不是。甲2份、乙3份，總量是5份，所以甲佔總量2/5。2/3是甲與乙相比的比值，分母不是總量。
8.9 本章回顧
比、百分率與速率都需要先辨認比較對象和基準量。比例式要保留分母資格，數量要帶正確單位。下一章會把重複相乘整理成冪，再分清平方、平方根、絕對值和近似。